Al analizar las funciones propias del sistema LTI, ¿por qué ignoramos el término de frecuencia natural en respuesta?

Los valores propios son las raíces de la ecuación característica, por lo que \ $ s \ $ necesita un valor en su primer \ $ e ^ {st} \ $. Generalmente, si \ $ s = - \ sigma_1 \ pm j \ omega _1 \ $, es un par complejo conjugado, entonces los valores propios correspondientes serán \ $ e ^ {- \ sigma_1 t} (cos (\ omega _1 t) \ pm jsin (\ omega_1 t)) \ $, y \ $ \ omega _1 \ $ será la frecuencia natural.

En su segundo \ $ e ^ {st} \ $, \ $ s = j \ omega \ $ representa una sinusoide forzada a una frecuencia arbitraria, \ $ \ omega \ $.

Si no hay valores propios complejos o imaginarios, no hay una frecuencia natural, solo los términos exponenciales reales de primer orden.

"Si definimos el voltaje como entrada y la corriente como salida, cualquiera que sea la función de forzado, la salida contiene un componente e − Rt / Le − Rt / L correspondiente al sistema en particular".

Esto está mal. Considere el voltaje de entrada 0. ¿Eso es hacer trampa? Considere la entrada \ $ \ delta (t) + \ frac {Ru (t)} {L} \ $ luego.

Esto es lo que está pasando: cuando tanto su función de transferencia como la transformada de Laplace de su señal de entrada son fracciones bastante polinómicas, puede usar parcial fracción de descomposición , y uno de los términos será su respuesta natural. Pero su coeficiente puede ser 0. Se utiliza un truco similar para la transformada de Fourier.

Su segunda afirmación acerca de no introducir nuevas frecuencias es correcta, pero parece que está confundido acerca de cómo interpretarla cuando se usa la transformada de Laplace y las condiciones iniciales. Sugiero leer acerca de la transformada de Laplace bilateral para aclararlo, pero, en definitiva, cuando se habla de funciones propias. , estás asumiendo que \ $ e ^ {- st} \ $ se extiende a ambos lados (y también lo hace tu solución), pero cuando tomas la transformación (de un lado), en realidad estás hablando de \ $ u (t) e ^ {-st} \ $, que tiene diferentes frecuencias.

Como ejemplo, \ $ u (t) sin (\ omega t) \ $ tiene componentes de frecuencia que \ $ sin (\ omega t) \ $ no tiene, por lo que un sistema LTI en reposo excitado por el primero puede produce una respuesta con componentes de frecuencia distintos de \ $ \ omega \ $. Sin embargo, la resolución de este último solo produce la respuesta de estado estable.