Encuentre las raíces del siguiente polinomio usando el método del lugar de la raíz.
3s⁴ + 10s³ + 21s² + 24s + 30 = 0 (No se ha dado el gráfico del lugar de las raíces).
¿Podrías ayudarme con esto?
Esta es una pregunta de la ingeniería de sistemas de control de M Gopal y I J Nagrath, 5ª edición.
Y esto no es una pregunta de tarea o algo relacionado con la tarea. Es un intento absoluto de aumentar mi conocimiento sobre el método del lugar de las raíces
Puedes usar el método de Newton . Sí, lo sé, no es el "método del lugar de las raíces", pero bueno, funciona.
Deje que \ $ F (s) = 3s ^ 4 + 10s ^ 3 + 21s ^ 2 + 24s + 30 \ $
Límpielo dividiendo todo por 3 para que nuestros s más grandes estén solos
Deje que \ $ f (s) = \ dfrac {F (s)} {3} = s ^ 4 + \ frac {10} {3} s ^ 3 + 7s ^ 2 + 8s + 10 \ $
luego \ $ f '(s) = 4s ^ 3 + 10s ^ 2 + 14s + 8 \ $
Ahora tenemos todo lo que necesitamos para comenzar a converger en los valores que hacen que la ecuación vaya a 0.
\ $ s_ {n + 1} = s- \ dfrac {f (s)} {f '(s)} = s- \ dfrac {s ^ 4 + \ frac {10} {3} s ^ 3 + 7s ^ 2 + 8s + 10} {4s ^ 3 + 10s ^ 2 + 14s + 8} \ $
Establezca s en algún valor inicial bueno y evalúe la ecuación anterior hasta que obtenga un valor que deje de cambiar. En otras palabras, ha encontrado un valor que hace que \ $ f (s) = 0 \ $ .
Si comienzas con:
Por lo tanto, tenemos un par de raíz en \ $ - 0.059 \ pm1.525i \ $
Ahora, encontremos los otros dos.
Por lo tanto, sabemos que \ $ f (s) \ $ se encuentra en el siguiente formulario porque es una cuarta potencia.
Entonces hagamos una nueva función llamada \ $ f_2 (s) \ $ que será igual a:
Esto cancelará nuestras dos primeras raíces para que el método de Newton converja en las otras dos raíces. Así que ahora necesitamos encontrar el derivado de la ecuación anterior, encantador. O simplemente hacemos una aproximación y dividimos por algún "número grande, digamos 10. La única diferencia entre dividir por una constante y dividir por la derivada es que convergerá mucho más lento. Reduciremos también el orden de
Para que quede claro cuál sería la ecuación "óptima", sería:
\ $ s_ {n + 1} = s- \ dfrac {f_2 ( s)} {f'_2 (s)} \ $
Pero en lugar de eso, la siguiente aproximación se usa porque soy un poco perezosa y de todos modos convergirá.
\ $ s_ {n + 1} = s- \ dfrac {f_2 (s)} {10f '(s ^ {- 2})} = s- \ dfrac { (s ^ 4 + \ frac {10} {3} s ^ 3 + 7s ^ 2 + 8s + 10)} {10 (s + 0.059 + 1.525i) (s + 0.059 - 1.525i) (4s + 10)} \ $
Si comienzas con:
Por lo tanto, tenemos un par de raíz en \ $ - 1.608 \ pm1.306i \ $
De modo que podemos concluir que \ $ F (s) \ $ es igual a:
$$ \ small F (s) = 3 (s + 0.059 + 1.525i) (s + 0.059-1.525i) (s + 1.608 + 1.306i) (s + 1.608-1.306i) $$
No olvide el factor 3 para \ $ s ^ 4 \ $ .
Ahora, es hora de verificarlo. Ingresando el siguiente código en octave / matlab
h=zpk([(-0.058899+1.525541i) (-0.058899-1.525541i) (-1.608+1.306i) (-1.608-1.306i)],[],3)
devuelve
Transfer function 'h' from input 'u1' to output ...
y1: 3 s^4 + 10 s^3 + 21 s^2 + 24 s + 30.01
Continuous-time model.
Lo que significa que realmente funcionó, para mi sorpresa.
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