El sistema no es completamente accesible. ¿Se puede acceder al estado x1 desde x0?

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El sistema es $$ x (k + 1) = \ begin {bmatrix}     1 & 1 & 0 \\     0 & 1 & 0 \\     0 & 0 & 1   \ end {bmatrix} x (k) + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix} u (k) \\ y (k) = \ begin {bmatrix}     1 & 1 & 0 \\     0 & 1 & 0   \ end {bmatrix} x (k) \\ C = \ begin {bmatrix} B & AB & A ^ 2B \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \ end {bmatrix} $$

El rango de C es 2 que no es igual al rango completo. Los medios que el sistema no es alcanzable. Sin embargo, el sistema no puede ser completamente accesible si el estado al que debe ir el sistema depende linealmente de la base de C

Deje que el estado x1 = \ begin {bmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \ end {bmatrix} que se puede alcanzar desde el estado cero.

Mis preguntas son

1) ¿Cómo determinar el número mínimo de pasos para alcanzar x1?

2) ¿Qué entrada necesito? ¿Y cómo verifico mis respuestas?

    
pregunta M. Ajina

1 respuesta

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Dado que el rango es 2, necesitaremos un mínimo de 2 pasos.

Vamos a considerarlos los dos primeros \ $ u_0 \ $ y \ $ u_1 \ $. Esto da $$ x_1 = B u_0 $$ $$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2 = B u_1 + A B u_0 $$ Sustituyendo valores $$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ left ( \ begin {array} {c}  3 \\  2 \\  2 \\ \ end {array} \ right) = \ left ( \ begin {array} {cc}  0 & 1 \\  1 & 1 \\  1 & 1 \\ \ end {array} \derecha izquierda( \ begin {array} {c}  u_1 \\  u_0 \\ \ end {array} \ right) $$

La solución es \ $ u_0 = 3, u_1 = -1 \ $. Obtuve esto por observación, pero en general puedes resolver lo anterior usando el pseudoinvertido.

(Para sistemas de orden inferior, también puede visualizar estos subespacios controlables. He creado algunos anteriormente para lineal y no lineal sistemas de tiempo continuo. Otro interesante one .)

    
respondido por el Suba Thomas

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