¿Por qué la cancelación Z / P con la parte real 0 entre la planta y el controlador hace que el sistema sea inestable?

Si fuera posible colocar un cero EXACTAMENTE en la misma ubicación que el polo del plano medio derecho, el polo se cancelaría. Sin embargo, la colocación exacta no es factible en la práctica. El resultado es un polo y un cero muy próximos entre sí en el eje real positivo del plano s. En consecuencia, el lugar de la raíz tendrá una rama en el eje real positivo, que va desde el polo al cero, lo que dará un bucle cerrado inestable. El cero, esencialmente, atrapa el polo en el semiplano derecho.

Si, en cambio, el cero se colocara en una posición apropiada en el eje NEGATIVO real, el lugar de las raíces tendría la capacidad de mover el polo inestable al semiplano izquierdo y, por lo tanto, proporcionar un bucle cerrado estable.

Considere el caso muy simple de un circuito abierto con un solo polo en s = 1, es decir, un OLTF:

G (s) = 1 / (s-1)

Poner un cero en, digamos, s = 0.9 daría un OLTF:

G (s) = (s-0.9) / (s-1) y un CLTF = (s-0.9) / (2s-1.9), que es inestable.

Sin embargo, colocar un cero en s = -2 daría un OLTF:

G (s) = (s + 2) / (s-1) y un CLTF = (s + 2) / (2s + 1) que tiene un polo de bucle cerrado estable; es decir, el polo de bucle abierto inestable en s = 1 ha sido arrastrado hacia el plano izquierdo por el cero, y ahora se encuentra en s = -0.5

Esto no sería universalmente cierto ..

Un caso en el que sería cierto es si la Planta es realmente inestable (debido a un polo) & la idea es cancelarlo incluyendo un cero en el controlador. ¿Puedes realmente cancelar ese palo pícaro a la derecha? no ... todavía tendrá problemas de estabilidad

El caso ideal (cero exactamente en el polo) o el caso práctico (cero justo fuera del polo) aún termina con un sistema inestable. La única diferencia es el tiempo que tarda en surgir la inestabilidad. Sin embargo, una estabilidad dependiente del tiempo sigue siendo una inestabilidad.

Considere una planta con un TF: \ $ \ frac {1} {s ^ 2-1} \ $ Un sistema de segundo orden. Esto tiene polos en +1 y -1

Ese polo en +1 es un problema, el derecho del origen y por lo tanto ... inestable. Entonces, ¿por qué no cancelarlo con un cero en +1 desde un controlador?

Por lo tanto, un controlador tendría un TF: s-1

Esto produce una función de transferencia de bucle cerrado de: \ $ \ frac {s-1} {s ^ 2 + s-2} \ $

Si esto fue simulado:

s = tf('s');
P=1/(s^2-1);
sys = feedback((s-1)*P,1)
step(sys,100)

Esteenlacealfadewolfrumtambiénlomuestra:

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Si prolonga el tiempo del gráfico de respuesta de pasos de la unidad , verá que su respuesta se vuelve indeseable.

--edit--

Toma una función de transferencia \ $ H = \ frac {s-1} {s ^ 2 + 2s-3} \ $

Esto tiene un polo en +1, por lo que un primer pensamiento sería cancelar este polo con un cero en +1 para crear:

\ $ H = \ frac {1} {s + 3}

¿Debería este sistema ser estable? El primer pensamiento sería sí, ya que solo tiene un polo. Sin embargo

La ecuación diferencial para esto es

\ $ \ ddot {y} + 2 \ dot {y} - 3y = \ dot {u} - u \ $

Esto puede ser manipulado para producir:

\ $ \ frac {y_o} {4} (e ^ {- 3t} + e ^ t) \ $

note que \ $ e ^ t \ $ term?

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