Determinar el cruce del eje imaginario de un lugar de raíz

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Tengo una ecuación \ begin {equation} {\ text {L} \ left (s \ right) = \ frac {K} {s (s + 4) (s ^ 2 + 6s + 64)}} \ fin {ecuación}

y estoy tratando de determinar su locus raíz a mano. Cuando intento dibujarlo con matlab, el locus raíz parece cruzar el eje imaginario en aproximadamente +/- 5.06

Cuando trato de determinar dónde el lugar de la raíz cruzará el eje imaginario a mano, termino con dos valores posibles para el cruce del eje imaginario, ya sea 5.06 como en el gráfico matlab o 3.52. ¿Hay alguna forma de descartar un valor para el cruce del eje imaginario? ¿Por qué termino con dos valores para el cruce del eje imaginario pero matlab solo termina con uno?

    
pregunta Ca01an

3 respuestas

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No estoy seguro de tu cálculo, pero Matlab arroja el resultado correcto. En este problema, el enfoque común es utilizar el criterio Routh-Hurwitz y buscar una fila de ceros que ofrezca la posibilidad de raíces de ejes imaginarios. Para convertir el sistema a la función de transferencia de bucle cerrado, por lo tanto $$ \ frac {K} {s ^ 4 + 10s ^ 3 + 88s ^ 2 + 256s + K} $$

La tabla de Routh es

$$ \ begin {matrix} s ^ 4 & & & & 1 & & & & 88 & & & & K \\ s ^ 3 & & & & 10 & & & & 256 \\ s ^ 2 & & & & 62.4 & & & & K \\ s ^ 1 & & & & \ frac {15974.4-10K} {62.4} \\ s ^ 0 & & & & K \ end {matriz} $$

La fila \ $ s ^ 1 \ $ es la única fila que puede producir una fila de ceros. De la fila anterior, obtenemos

$$ \ begin {align} & 15974.4 - 10K = 0 \\ K & = \ frac {15974.4} {10} = 1597.44 \ end {align} $$

Ahora echamos un vistazo a la fila arriba de \ $ s ^ 1 \ $ y construimos el siguiente polinomio, por lo tanto

$$ \ begin {align} 62.4 s ^ 2 + K & = 0 \\ 62.4 s ^ 2 + 1597.44 & = 0 \\ s ^ 2 & = \ frac {-1597.44} {62.4} \\ s_ {1,2} & = \ pm j \ sqrt {25.6} \\ s_ {1,2} & = \ pm j 5.0596 \\ \ end {align} $$

El lugar de la raíz cruza el eje imaginario en \ $ \ pm j5.0596 \ $ en la ganancia \ $ K = 1597.44 \ $. En consecuencia, la ganancia \ $ K \ $ debe ser inferior a 1597.44 para que el sistema sea estable.

    
respondido por el CroCo
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Para determinar \ $ K \ $. Necesitamos investigar:

\ $ 1 + KF (s) = 0 \ implica 1 + L (s) = 0 \ implica s (s + 4) (s ^ 2 + 6s + 64) + K = 0. \ $

Sabemos que \ $ s = j \ omega \ $. Al insertar esto en la ecuación y recopilar la parte real e imaginaria que obtenemos.

\ $ \ left (10 \ omega ^ 3-256 \ omega \ right) + j \ left (\ omega ^ 4-88 \ omega ^ 2 + K \ right) = 0 + j \ cdot 0 \ $

Al comparar el número complejo en el lado derecho e izquierdo de la ecuación obtenemos dos ecuaciones:

\ $ 10 \ omega ^ 3-256 \ omega = 0 \ qquad \ wedge \ qquad \ omega ^ 4-88 \ omega ^ 2 + K = 0. \ $

Resolver la primera ecuación lleva a \ $ \ omega = 0, \ omega = \ pm \ frac {8} {5} \ sqrt {10} \ $. \ $ \ omega = 0 \ $, llevaría a la solución trivial \ $ K = 0 \ $. Como la segunda ecuación es igual, \ $ \ omega = \ pm \ frac {8} {5} \ sqrt {10} \ approx5.060 \ $ conducen al mismo resultado \ $ K = \ frac {39936} {25} \ approx1597.44 \ $, lo cual es obvio porque el lugar de la raíz es simétrico con respecto al eje real.

Al verificar esto con MATLAB se obtienen resultados muy similares.

    
respondido por el MrYouMath
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MATLAB está trazando el lugar de la raíz solo para valores positivos de \ $ K \ $. Su cálculo analítico puede estar considerando valores positivos y negativos de \ $ K \ $ y es por eso que termina con dos pares de puntos. Mantenga solo el que se obtiene con \ $ K > 0 \ $

    
respondido por el diegobatt

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