Así que me preguntaba si tiene un sistema, considérelo \ $ G (s) \ $ y no tiene energía inicial, es decir, \ $ x (0) = 0 \ $ para la condición inicial. Si la función de transferencia muestra: cancelación de polos, se consideraría estable. Sé que esto es una paradoja común en la disciplina, pero con el conocimiento de un sistema ya "sin energía" que solo responderá a una simple relación de entrada / salida. ¿Esto afecta realmente la estabilidad para los propósitos del controlador?
Si \ $ G (s) \ $ es una función de transferencia arbitraria, es BIBO estable si y solo si es linealmente estable. La prueba es simple. Sea \ $ x (t) \ $ una entrada limitada y coloque \ $ x_0 \ $ como el límite mínimo superior de \ $ x (t) \ $. La transformada de Laplace da
$$ \ frac {x_0} {s} > X (s) $$
por lo tanto
$$ G (s) \ frac {x_0} {s} > G (s) X (s) $$
por lo tanto
$$ \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {G (s) \ frac {x_0} {s} \ right \} > \ mathscr {L} ^ {- 1} \ {G (s) X (s) \}. $$
Pero como \ $ G (s) \ $ es estable, \ $ \ frac {G (s)} {s} \ $ también es al menos casi estable (no tiene polos más allá del origen), entonces \ $ \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {G (s) \ frac {x_0} {s} \ right \} \ $ también está delimitado. De hecho, \ $ \ mathscr {L} ^ {- 1} \ {G (s) X (s) \} \ $ será una combinación lineal de términos dentro de una colección de sobres con disminución exponencial, por lo que la correspondencia de estabilidad lineal-BIBO En realidad es bastante intuitivo.
La cancelación de polos se puede hacer manteniendo la estabilidad, pero es arriesgado porque los polos de bucle cerrado se mueven desde su posición de bucle abierto y las incertidumbres de modelado / control pueden hacer que los ceros se muevan fuera de los polos. Si utiliza la cancelación del polo cero para eliminar los polos inestables, es posible que las posiciones reales de los polos y ceros no se alineen, y la respuesta será inestable. ¡Así que nunca hagas esto! La energía inicial no importa, ya que sus entradas excitarán los modos correspondientes a cada polo que no esté completamente cancelado. El enfoque recomendado para los polos inestables, como siempre, es usar retroalimentación para estabilizarlos.
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