Modelo de espacio de estado para un sistema acoplado MIMO

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Encontré un sistema MIMO no lineal con entradas acopladas que se modelará en forma de espacio de estado. Las cinemáticas son las siguientes:

$$ \ ddot {x} = F_Ecos (\ psi) sin (\ theta) + F_Esin (\ psi) cos (\ theta) + F_scos (\ theta) \\ \ ddot {y} = F_Ecos (\ psi) cos (\ theta) - F_Esin (\ psi) sin (\ theta) - F_ssin (\ theta) \\ \ ddot {\ theta} = F_Esin (\ psi) (l_1 + l_n) - l_2F_s \\ $$

La siguiente forma estándar de espacio de estado supone un sistema lineal invariante en el tiempo y el vector de estado q se desacopla del vector de entrada u . $$ \ dot {q} = Aq + Bu \\ y = Cq + Du $$

Suponga que \ $ cos (\ theta) = 1, sin (\ theta) = \ theta \ $, \ $ cos (\ psi) = 1, sin (\ psi) = \ psi \ $ para ángulos pequeños. En la cinemática anterior, entradas \ $ u = [F_E, \ psi, F_s] \ $. Esto da lugar a lo siguiente:

$$ \ ddot {x} = F_E \ theta + F_E \ psi + F_s \\ \ ddot {y} = F_E - F_E \ psi \ theta - F_s \ theta \\ \ ddot {\ theta} = F_E \ psi (l_1 + l_n) - l_2F_s \\ $$

Si el estado \ $ q = [x, \ dot {x}, y, \ dot {y}, \ theta, \ dot {\ theta}] \ $, esto significa que \ $ \ dot {q} \ $ se evalúa en términos de múltiples entradas y estados multiplicados (acoplados). Ejemplo con \ $ \ ddot {x} \ $:

$$ \ punto {q_2} = u_1q_5 + u_1u_2 + u_3 $$

Sin embargo, la forma estándar de espacio de estado no puede representar esto ya que las entradas se multiplican por constantes en \ $ \ dot {q} \ $. Mis preguntas son;

  1. ¿Podemos seguir utilizando el espacio del estado para este sistema?
  2. Si todavía queremos matrices A, B, C, D , ¿hay un método / transformación de desacoplamiento que se utiliza para modificar las ecuaciones cinemáticas?
  3. Si tuviéramos que diseñar 3 PID para controlar las 3 entradas, ¿deberíamos asumir la independencia entre las entradas y, por lo tanto, "desacoplar" el sistema con este supuesto? Busqué matrices de ganancia relativa para esta parte.

Busqué libros, tutoriales y notas sin descanso, pero todos parecen considerar un ejemplo simple que tiene entradas desacopladas de los estados y con una constante. Se diseñará un LQR en un sistema similar al anterior, pero para ello se necesita la forma de espacio de estado. Cualquier sugerencia es apreciada.

    
pregunta Arex

1 respuesta

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Has malinterpretado la representación del espacio de estados. Si bien el formulario estándar que ha publicado está dirigido a sistemas lineales, esto no significa que la representación no pueda manejar un sistema no lineal. Probablemente una de las herramientas poderosas de esta representación es su capacidad para manejar sistemas no lineales. Veamos cómo se representa el sistema en el espacio de estado (es decir, sin forma de matriz).

Definamos \ $ q_1 = x, q_2 = \ dot {x}, q_3 = y, q_4 = \ dot {y}, q_5 = \ theta, q_6 = \ dot {\ theta} \ $, por lo tanto, obtener

$$ \ begin {align} \ dot {q} _1 & = q_2 \\ \ dot {q} _2 & = F_E \ cos (\ psi) \ sin (q_5) + F_E \ sin (\ psi) \ cos (q_5) + F_s \ cos (q_5) \\ \ dot {q} _3 & = q_4 \\ \ dot {q} _4 & = F_E \ cos (\ psi) \ cos (q_5) - F_E \ sin (\ psi) \ sin (q_5) - F_s \ sin (q_5) \\ \ dot {q} _5 & = q_6 \\ \ dot {q} _6 & = F_E \ sin (\ psi) (l_1 + l_n) - l_2F_s \\ \ end {align} $$ Ahora el sistema puede ser representado en general como

$$ \ punto {q} = f (q, u), \ quad q \ in \ mathbb {R} ^ 3, u \ in \ mathbb {R} ^ 3 $$ Que se puede resolver numéricamente. Puedo resolver el sistema si me proporciona los parámetros reales del sistema.

    
respondido por el CroCo

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