Encontré un sistema MIMO no lineal con entradas acopladas que se modelará en forma de espacio de estado. Las cinemáticas son las siguientes:
$$ \ ddot {x} = F_Ecos (\ psi) sin (\ theta) + F_Esin (\ psi) cos (\ theta) + F_scos (\ theta) \\ \ ddot {y} = F_Ecos (\ psi) cos (\ theta) - F_Esin (\ psi) sin (\ theta) - F_ssin (\ theta) \\ \ ddot {\ theta} = F_Esin (\ psi) (l_1 + l_n) - l_2F_s \\ $$
La siguiente forma estándar de espacio de estado supone un sistema lineal invariante en el tiempo y el vector de estado q se desacopla del vector de entrada u . $$ \ dot {q} = Aq + Bu \\ y = Cq + Du $$
Suponga que \ $ cos (\ theta) = 1, sin (\ theta) = \ theta \ $, \ $ cos (\ psi) = 1, sin (\ psi) = \ psi \ $ para ángulos pequeños. En la cinemática anterior, entradas \ $ u = [F_E, \ psi, F_s] \ $. Esto da lugar a lo siguiente:
$$ \ ddot {x} = F_E \ theta + F_E \ psi + F_s \\ \ ddot {y} = F_E - F_E \ psi \ theta - F_s \ theta \\ \ ddot {\ theta} = F_E \ psi (l_1 + l_n) - l_2F_s \\ $$
Si el estado \ $ q = [x, \ dot {x}, y, \ dot {y}, \ theta, \ dot {\ theta}] \ $, esto significa que \ $ \ dot {q} \ $ se evalúa en términos de múltiples entradas y estados multiplicados (acoplados). Ejemplo con \ $ \ ddot {x} \ $:
$$ \ punto {q_2} = u_1q_5 + u_1u_2 + u_3 $$
Sin embargo, la forma estándar de espacio de estado no puede representar esto ya que las entradas se multiplican por constantes en \ $ \ dot {q} \ $. Mis preguntas son;
- ¿Podemos seguir utilizando el espacio del estado para este sistema?
- Si todavía queremos matrices A, B, C, D , ¿hay un método / transformación de desacoplamiento que se utiliza para modificar las ecuaciones cinemáticas?
- Si tuviéramos que diseñar 3 PID para controlar las 3 entradas, ¿deberíamos asumir la independencia entre las entradas y, por lo tanto, "desacoplar" el sistema con este supuesto? Busqué matrices de ganancia relativa para esta parte.
Busqué libros, tutoriales y notas sin descanso, pero todos parecen considerar un ejemplo simple que tiene entradas desacopladas de los estados y con una constante. Se diseñará un LQR en un sistema similar al anterior, pero para ello se necesita la forma de espacio de estado. Cualquier sugerencia es apreciada.