Laplace inverso mediante el teorema de descomposición

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La consulta original es encontrar x (t) con una transformada de Laplace de X (s) = 4 (s + 1) / s (s + 2) ^ 2. Los polos son s_1 = 0 y s_2 = -2 (con una multiplicidad de 2).

Debido a que el segundo polo no es simple, su x (t) debe resolverse mediante el teorema de descomposición, ¿correcto?

I.e. lim (s- > s_ {2}) = d / ds [X (s) (s-s_ {2}) ^ 2 e ^ st]

Continuando con la solución, llego a lo siguiente y no estoy seguro de cómo continuar:

$$ lim _ {(s- > s_ {2})} \ frac {d} {ds} \ left (\ frac {4 (s + 1)} {s} \ right) * e ^ st $$

Porque x (t) para el primer polo es x (t) = 1, y x (t) para el segundo (polo no simple) es x (t) = (2t-1) * e ^ (- 2t), la solución final es la suma de los dos:

$$ x (t) = 1 + (2t-1) * e ^ (- 2t) $$

¿Cómo se alcanza esto (es decir, cómo se alcanza la solución para el segundo polo, desde el punto donde lo dejé)?

    
pregunta howland12

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Debes hacer una expansión de fracción parcial (también denominada descomposición de fracción parcial).

Usando la expansión de fracciones parciales, puedes escribir el polinomio del dominio de Laplace como:

$$ X (s) = \ frac {4 (s + 1)} {s (s + 2) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + 2} + \ frac {C} {(s + 2) ^ 2} $$

Resolver los coeficientes es simple y puedes mostrar que

$$ A = 1, B = -1, C = 2 $$

Y así

$$ X (s) = \ frac {4 (s + 1)} {s (s + 2) ^ 2} = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + 2} + \ frac {2} {(s + 2) ^ 2} $$

Hacer la transformación inversa de Laplace término a término es fácil y se puede encontrar fácilmente en una tabla. La transformada inversa de Laplace de X (s) es ahora entonces

$$ x (t) = 1 - e ^ {- 2t} + 2te ^ {- 2t} $$

Reorganiza los términos para obtener tu expresión final: $$ x (t) = 1 + (2t-1) e ^ {- 2t} $$

    
respondido por el Envidia

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