Obtención de información de estabilidad a partir de gráficos de Bode

  

Si existe ω = φ tal que | KG (jφ) | = 1 y ∠ (KG (jφ)) = -180 °, entonces sabemos que s = jφ debe ser un polo.

Esto es incorrecto y está llevando a un malentendido.

Los polos del sistema son las raíces de la ecuación característica de la función de transferencia de bucle abierto $$ KG (s) = 0 $$

las raíces son de la forma $$ s = \ sigma + j \ omega $$

Estos son los polos y ceros que se analizan en el gráfico de Bode.

Una vez que se cierra el bucle, los polos mueven la ubicación para que sean las raíces de la ecuación característica $$ 1 + KG (s) = 0 $$ Puede ver la compensación del bucle como un método para mover los polos del bucle abierto a más adecuados (estable ) ubicaciones en el bucle cerrado. Esto puede incluso realizarse directamente usando posición de polo .

Sin embargo, el análisis de estabilidad de Bode se basa en el criterio de estabilidad de Nyquist. Por lo tanto, la condición para la oscilación en un sistema de retroalimentación negativa es la ganancia unitaria y el cambio de fase de 180 grados: $$ KG (s) = -1 $$ y, por lo tanto, la gráfica de Bode ilustra la "condición de estabilidad" al reorganizar $$ KG (s) + 1 = 0 $$

Esta es la misma ecuación que la ecuación característica del Circuito cerrado . Pero es un malentendido ver que esto se relaciona con los gráficos de estabilidad de Bode, que son un análisis de bucle abierto.

El criterio de estabilidad de Nyquist también nos dice que en general (pero hay excepciones), un sistema de bucle cerrado es estable si el cruce de ganancia unitaria de la gráfica de magnitud ocurre a una frecuencia menor que el cruce de -180 grados de la gráfica de fase .

Puedo encontrar mucha información sobre cómo calcular la ganancia y los márgenes de fase a partir de los gráficos de Bode, pero no puedo encontrar ninguna justificación adecuada para estas reglas en términos de las posiciones de los polos.

En principio, está solicitando una relación entre el comportamiento de los sistemas en el dominio del tiempo (propiedades de estabilidad) y el dominio de la frecuencia (ubicaciones de los polos), ¿correcto?

Bueno, esto se puede responder de la siguiente manera:

• Cuando estás calculando la respuesta al escalón (dominio del tiempo), debes resolver una ecuación diferencial introduciendo un exponencial "Ansatz" exp (st) (desde el principio sin saber el significado del símbolo "s"; Solo conoces su dimensión: 1 / tiempo). Como resultado, se llega a una ecuación que debe resolverse: esta es la llamada "ecuación característica" P (s) = 0 del sistema. Resolver esta ecuación, junto con una interpretación correcta de esta solución, le brinda la siguiente información: La cantidad desconocida "s" es compleja y se puede interpretar como una frecuencia compleja "s = sigma + jw". Como consecuencia, la respuesta al paso será de la forma exp (sigma * t) * sin (wt) . De esto, puede deducir que la parte real de "s" debe ser negativa para una respuesta de pasos en descomposición (sigma<0).

• Cuando esté calculando la función de transferencia (de segundo orden) H (s) = N (s) / D (s), verá que el denominador D (s) consiste en un polinominal de segundo orden de la forma (1 + As + Bs²) . Además, notará que este polinominal es idéntico al personaje mencionado anteriormente. P (s) polynoiminal. Esta identidad establece la relación entre el dominio del tiempo y la frecuencia porque los polos de la función de transferencia (resultantes de P (s) = 0) son idénticos a las raíces del carácter. ecuación. Como hemos visto que la parte real "sigma" de esta raíz debe ser negativa, tenemos el requisito en el dominio de la frecuencia: la parte real "sigma" del polo debe ser negativa.

• Por lo que sé, no hay una fórmula que describa la relación entre el margen de fase y la ubicación del polo. Sin embargo, hay una relación fija entre ( corrección: ) ubicación del polo y el factor de calidad del polo [Qp = 1/2 * cos (phi)] , phi = ángulo entre neg Eje real y vector polo. Por otro lado, la ganancia máxima de la función de transferencia (en la vecindad de la frecuencia del polo) está relacionada con Qp, y también podemos relacionar la ganancia máxima con el margen de fase. Por lo tanto, existe una relación más o menos indirecta entre el margen de fase y la ubicación del polo (parte real).

• Un comentario general: encontrar una relación DIRECTA entre los polos del sistema y el margen de estabilidad es "problemático" porque los márgenes de estabilidad se definen para un sistema de bucle abierto (LOOP GAIN) mientras que la ubicación del polo se investiga para el circuito cerrado sistema de bucle

Observación: Sin embargo, se puede mostrar que, como una buena aproximación, la siguiente expresión es válida para un sistema de segundo orden y márgenes de fase PM < 65 grados : PM = 50 / Qp (en grados). En este contexto, se debe tener en cuenta que los márgenes de fase superiores a 65 grados. son más bien poco críticos.