Esto suele ser fácil, pero hay cosas que no he encontrado en este. Este es el problema. $$ \ dot x = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 2 & -3 \ end {bmatrix} x + \ begin {bmatrix} 0 \\ 2 \ end {bmatrix} u = Ax + Bu \\ y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} x = Cx \\ x (0) = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
Primero me piden que calcule $$ x (t) = e ^ {At} x (0) $$
Una matriz exponencial en un curso de teoría de control parece demasiado, pero lo resolví. $$ x (t) = \ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & -2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} e ^ {- 1t} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2t } \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$ La segunda y última pregunta me pide que encuentre la expresión de la salida y (t) para cualquier entrada u (t).
Mirando el manual de la solución, esto es todo lo que está escrito: $$ y (t) = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ int_0 ^ t \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} e ^ {- 1 (t-τ)} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2 (t-τ)} \ end {bmatrix} \ comience {bmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 2 \ end {bmatrix} u (τ) dτ $$
Eso me recuerda a la convolución, pero los límites integrales son diferentes. Además se usa el resultado de la primera pregunta. ¿Por qué usaríamos el exponencial? No puedo hacer la conexión y entender la segunda parte. ¿Alguna idea?