¿Cómo encontrar el punto de intersección en el diagrama de rootlocus?

La ecuación característica es:

$$ s (s + 1) (s + 3) = - K $$

Por lo tanto, conecte cualquier punto en el lugar, y eso le dará el valor correspondiente de K.

Parece que el punto seleccionado en el locus es aproximadamente: \ $ s = -0.4 + j0.7 \ $, lo que dará \ $ K \ approx 1.8 \ $

Para obtener una respuesta precisa a este problema en particular (\ $ \ small \ zeta = 0.5 \ $), escriba el CE como: $$ s (s + 1) (s + 3) + K = (s + \ alpha) (s ^ 2 + \ omega _n s + \ omega_n ^ 2) $$

resuelva para \ $ \ alpha \ $ y \ $ \ omega_n \ $, y por lo tanto encuentre a K. Así:

$$ s ^ 3 + (\ alpha + \ omega_n) s ^ 2 + (\ alpha \ omega_n + \ omega_n ^ 2) s + \ alpha \ omega_n ^ 2 = s ^ 3 + 4s ^ 2 + 3s + K $ PS Dando \ $ \ small K = 1.83 \ $.

Los sistemas superiores al tercer orden necesitarán un solucionador de raíz.

Pero este enfoque plantea la pregunta, ¿por qué molestarse en esbozar el lugar de la raíz en primer lugar?

Buscamos en una línea un punto que genere una suma de ángulos (para los ángulos cero y polo) igual a un múltiplo impar de \ $ 180 ^ \ circ \ $. Echa un vistazo a la siguiente imagen

La línea en la que un punto que produce una suma de ángulos igual a un múltiplo impar de 180 grados se muestra como la línea Verde en la imagen de arriba. El ángulo de esta línea es \ $ \ beta = \ cos ^ {- 1} (\ zeta) \ $ y el radio que satisface la condición mencionada anteriormente es buscado por un software que codificamos. En este ejemplo, este es el código de Matlab que busca el punto de destino.

r=.75;
while r < .76
zeta=.5; 
a=acos(zeta);
x=r*cos(a);
y=r*sin(a);

%poles' angles
p1=0;
Th1=pi-atan( y/x );

p2=-1;
Th2=atan(y/(abs(p2)-x));

p3=-3;
Th3=atan(y/(abs(p3)-x));

angle=-(Th1+Th2+Th3);
fprintf('Th1=%.3f : Th2=%.3f : Th3=%.3f  :  angle=%.3f  : r=%.3f\n', rad2deg(Th1),rad2deg(Th2), rad2deg(Th3),rad2deg(angle),r);

r = r + .00001;
end 

Si ejecuta el código, observa el siguiente resultado

Th1=120.000 : Th2=46.102 : Th3=13.898  :  angle=-180.000  : r=0.750

La condición mencionada anteriormente se cumple si \ $ \ theta_1 = 120 ^ \ circ, \ theta_2 = 46.102 ^ \ circ \ $ y \ $ \ theta_3 = 13.898 ^ \ circ \ $ que produce un radio \ $ r = 0.75 \ PS El punto \ $ P \ $ es entonces \ $ (r \ cos (\ beta), r \ sin (\ beta)) \ $, o \ $ P = -0.3750 + j0.6495 \ $. Ahora, para calcular la ganancia K , sustituimos a P en la siguiente fórmula:

$$ \ begin {align} K & = \ frac {1} {| G (s) || H (s) |} \\   & = | s (s + 1) (s + 3) | \ Big | _ {s = P} \\   & = 1.8281. \ end {align} $$