Frecuencias naturales de un filtro de paso de banda

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Tengo la siguiente transformación de frecuencia utilizada para diseñar un prototipo de paso bajo a partir de una máscara de especificación de paso de banda: $$ \ omega = \ frac {\ omega_0} {B} \ left (\ frac {\ omega '} {\ omega_0} - \ frac {\ omega_0} {\ omega'} \ right) $$ donde \ $ \ omega_0 \ $ y \ $ B \ $ son constantes, \ $ \ omega \ $ representa la frecuencia angular del filtro de paso bajo y \ $ \ omega '\ $ es la frecuencia angular del filtro de paso de banda. Como las funciones de transferencia de los filtros deben ser hermíticas, la función se puede reducir a: $$ \ omega = \ frac {\ omega_0} {B} \ left | \ frac {\ omega '} {\ omega_0} - \ frac {\ omega_0} {\ omega '} \ right | $$

Dado que \ $ \ omega_0 / B = 2.45 \ $, me pregunto si al resolver \ $ \ omega '\ $ la ecuación se puede reescribir así: $$ \ omega' ^ 2- \ frac {\ omega_0 \ omega} {2.45} \ omega '- \ omega_0 ^ 2 = 0 $$ y desde aquí solo subordinarán las frecuencias naturales del prototipo de paso bajo y obtendremos las frecuencias naturales del filtro de paso de banda ya que he ignorado el valor absoluto para resolver \ $ \ omega '\ $ y no sé si eso puede ser importante al calcular el resultado.

    
pregunta Martín

2 respuestas

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¡En caso de duda, trama! Código matlab: 

w_array = -10:1:10;
w0_array = -10:1:10;
wl_array_1 = zeros(length(w_array), length(w0_array));
wl_array_2 = zeros(length(w_array), length(w0_array));
syms wl

for i=1:length(w_array)
    w = w_array(i);
    for j=1:length(w0_array)
        w0 = w0_array(j);
        s1 = solve(wl^2 - w0*w*wl/2.45 - w0^2 == 0, wl, 'PrincipalValue', true);
        if isempty(s1)
            s1 = NaN;
        end
        wl_array_1(i,j) = double(s1);
        s2 = solve(w - 2.45*abs(wl/w0 - w0/wl) == 0, wl, 'PrincipalValue', true);
        if isempty(s2)
            s2 = NaN;
        end
        wl_array_2(i,j) = double(s2);
    end
end

figure(1)
for j=1:length(w0_array)
    plot(w_array,wl_array_1(:,j)), hold on
end
xlabel('\omega'), ylabel('\omega´'), xlim([-10,10]), ylim([-45,5])
title('Not considering the absolute in equation'), hold off,

figure(2)
for j=1:length(w0_array)
    plot(w_array,wl_array_2(:,j)), hold on
end
xlabel('\omega'), ylabel('\omega´'), xlim([-10,10]), ylim([-45,5])
title('Considering the absolute in equation'), hold off

Como puede verse, el absoluto garantiza que solo existan soluciones para valores positivos de \ $ \ omega \ $ y \ $ \ omega_0 \ $. Eliminando el absoluto, existen soluciones para \ $ \ omega \ $ y \ $ \ omega_0 \ $ negativos. Ahora depende de usted decidir qué significa y si esto es importante.

    
respondido por el Vicente Cunha
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Por mi parte, me resulta más fácil hacerlo en Laplace:

$$ s = \ frac {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} {BW s} $$

donde BW es el ancho de banda, y \ $ \ omega_0 \ $ es la frecuencia central. Para una raíz real, \ $ \ Re \ $:

$$ \ frac {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} {BW s} + \ Re = 0 = > s ^ 2 + BW \ Re s + \ omega_0 ^ 2 = 0 $$

Que es fácil de resolver. Si la raíz es pura imaginaria:

$$ \ frac {s ^ 2 + w_0 ^ 2} {BW s} + j \ Im = 0 = > s ^ 2 + j BW \ Im s + \ omega_0 ^ 2 = 0 $$

y si es complejo, \ $ p = \ Re + j \ Im \ $:

$$ \ frac {s ^ 2 + w_0 ^ 2} {BW s} + p = 0 = > s ^ 2 + BW p s + \ omega_0 ^ 2 = 0 $$

Este es un poco más complicado de resolver, no imposible. Las raíces desnudas y complejas de la ecuación aparecen como:

$$ s = - \ frac {BW p} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {BW ^ 2p ^ 2-4 \ omega_0 ^ 2} {2}} $$

y resolviendo por complejo, obtienes cuatro posibilidades, de las cuales eliges, como antes, solo las frecuencias positivas:

$$ Real = BW ^ 2 (\ Re ^ 2- \ Im ^ 2) -4 \ omega ^ 2 $$ $$ Imag = 2BW ^ 2 \ Re \ Im $$ $$ Mag = \ sqrt {Real ^ 2 + Imag ^ 2} $$ $$ \ Phi = \ frac {1} {2} \ sqrt {Mag} \ frac {\ arctan2 (Imag, Real)} {2} $$ $$ s = \ frac {1} {2} \ left [-BW \ Re \ pm \ sqrt {Mag} \ cos (\ frac {\ Phi} {2}) \ pm j \ left (\ sqrt {Mag} \ sin \ frac {\ Phi} {2} \ pm BW \ Im \ right) \ right] $$

Parece monstruoso, pero funciona.

    
respondido por el a concerned citizen

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