Buscando parámetros PID .. ¿Cómo?

Bueno, sabemos que un sistema de segundo orden se puede escribir de la siguiente forma:

$$ \ mathcal {H} \ left (\ text {s} \ right): = \ frac {\ text {Y} \ left (\ text {s} \ derecha)} {\ text {X} \ left (\ text {s} \ right)} = \ frac {1} {\ frac {1} {\ omega_0 ^ 2} \ cdot \ text {s} ^ 2 + \ frac {2 \ beta} {\ omega_0} \ cdot \ text {s} +1} \ tag1 $$

Cuando hay un exceso, sabemos que:

• Overshoot (en \ $ \ text {%} \ $ ): $$ \ text {D} = 100 \ cdot \ exp \ left (- \ pi \ cdot \ frac {\ beta} {\ sqrt {1- \ beta ^ 2}} \ derecha) \ tag2 $$
• tiempo de subida: $$ \ text {t} _ \ text {p} = \ frac {\ pi} {\ omega} \ tag3 $$

Y hemos sobrepasado, por lo que sabemos la relación entre \ $ \ omega \ $ , \ $ \ omega_0 \ $ y \ $ \ beta \ $ :

$$ \ omega = \ omega_0 \ cdot \ sqrt {1- \ beta ^ 2} \ tag4 $$

Entonces, obtenemos (usando sus valores más grandes):

• $$ 10 = 100 \ cdot \ exp \ left (- \ pi \ cdot \ frac {\ beta} {\ sqrt {1- \ beta ^ 2}} \ right) \ space \ Longleftrightarrow \ space \ beta = \ frac {\ ln \ left (10 \ right)} {\ sqrt {\ pi ^ 2 + \ ln ^ 2 \ left (10 \ right)}} \ tag5 $$
• $$ 1 = \ frac {\ pi} {\ omega} \ space \ Longleftrightarrow \ space \ omega = \ pi \ tag6 $$
• $$ \ omega = \ omega_0 \ cdot \ sqrt {1- \ beta ^ 2} \ space \ Longleftrightarrow \ space \ omega_0 = \ sqrt {\ pi ^ 2 + \ ln ^ 2 \ left (10 \ right)} \ tag7 $$

Entonces:

$$ \ mathcal {H} \ left (\ text {s} \ right): = \ frac {\ text {Y} \ left (\ text {s} \ derecha)} {\ text {X} \ left (\ text {s} \ right)} = \ frac {1} {\ frac {1} {\ pi ^ 2 + \ ln ^ 2 \ left (10 \ right) } \ cdot \ text {s} ^ 2 + \ frac {\ ln \ left (100 \ right)} {\ pi ^ 2 + \ ln ^ 2 \ left (10 \ right)} \ cdot \ text {s} + 1} \ tag8 $$