El integrador en el controlador PI garantiza un error de estado estable cero: puede verificar esto al permitir que s = 0 en la función de transferencia de bucle cerrado, G (s), que da G (0) = 1. Si no se le ha dado ninguna restricción en la velocidad de respuesta, entonces la solución simplista es permitir que Kp = 0 y la función de transferencia se reduzca a la forma estándar de segundo orden y luego puede diseñar Ki para obtener un coeficiente de amortiguamiento, zeta = 1
Con su restricción adicional de minimizar el tiempo de subida, quizás sea instructivo mirar el lugar de la raíz (supongo que ha cubierto esto en su curso). El TF de bucle abierto se puede reducir a
$$ G_o (s) = \ frac {K (s + z)} {s (s + a)} $$
donde K = bKp. y z = Ki / Kp. Ahora podemos diseñar para un rebasamiento cero y examinar la velocidad de respuesta.
Los polos de bucle abierto están en s = 0 y s = -a, y el cero de bucle abierto está en s = -z. Entonces, coloquemos el cero entre los dos polos OL, esto garantizará que el lugar de la raíz se encuentre completamente en el eje real negativo y, por lo tanto, no habrá polos de bucle cerrado oscilatorios. El polo CL dominante (es decir, el que determina la velocidad general de respuesta) es aquel cuyo locus rastrea desde el polo en s = 0 hasta el cero en s = -z. A medida que este polo CL se mueve hacia la izquierda, la respuesta general se vuelve más rápida. El otro polo está más distante, se mueve más hacia la izquierda a medida que aumenta K, por lo que es mucho más rápido, pero su impacto en la respuesta general se reduce a medida que se aleja.
Entonces, a medida que K aumenta, la velocidad de respuesta aumenta; pero recuerde que para un sistema físicamente realizable, K está limitado por consideraciones prácticas, por ejemplo, Límite de corriente para motores, que sirve para restringir la aceleración. Es decir, el precio que pagas por un mejor rendimiento es un mayor esfuerzo de control, ¡y eso equivale a más dinero!
Intente hacer el análisis con z = 1 y a = 2. Matlab podría ser útil.