¿Qué justifica simplificar los integrands en el problema de la ley de Ampere?

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Estoy viendo la solución del autor para un problema usando la Ley de Ampere, pero sus pasos son muy concisos, y dos pasos se deslizan sin un comentario justificativo. He añadido mis conjeturas a continuación con signos de interrogación.

Problema

¿Cuál es la densidad del flujo magnético dentro de un conductor envuelto en la forma de un toro con un radio de 2 cm, 50 vueltas y una corriente constante de 1A de corriente que fluye a través de él?

Solución

\ begin {align} \ oint H \ cdot dl & = I_ {enc} + \ int \ int_S \ frac {\ delta D} {\ delta t} \ cdot dS \ end {align}

Observando que la corriente es constante (?), $$ \ frac {\ delta D} {\ delta t} = 0 $$

$$ I_ {enc} = (50 \ textrm {turnos}) (1A) = 50A $$

Suponiendo que el material es homogéneo,

\ begin {align} \ oint \ frac {B} {\ mu} \ cdot dl & = 50A \\ dl & = r d \ theta \\ \ int ^ {2 \ pi} _ {0} \ frac {B} {\ mu} (2cm) d \ theta & = 50A \ end {align}

Con el conocimiento de que la densidad de flujo es rotacionalmente simétrica (?),

\ begin {align} \ frac {B} {\ mu} (2cm) \ int ^ {2 \ pi} _ {0} d \ theta & = 50A \\ \ implica B & = \ frac {50A \ mu} {(2cm) (2 \ pi)} = 500 \ mu T \ end {align}

Justificaciones

  1. ¿Es correcta la declaración actual constante?
  2. ¿Es la simetría rotacional la razón para eliminar el término de densidad de flujo del integrando? Si el elemento fuera algo más interesante que un toro, ¿ese paso sería rechazado?
pregunta bright-star

3 respuestas

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La ecuación de inicio es la famosa ecuación "propia de Maxwell" presentada como una integral. La corriente constante aquí significa que es DC que nunca cambia y nunca se ha cambiado. Es un punto de partida y el cálculo trata de encontrar cuáles son las consecuencias. Solo se puede negar si se descubre que este punto de partida tiene una contradicción lógica oculta, pero aún no se ha encontrado nada de eso. El supuesto también es utilizable para la práctica porque todas las ondas prácticas se atenúan poco después de encender el DC debido a las pérdidas.

El autor ha asumido que el devanado es lo suficientemente denso y el diámetro de una sola vuelta es lo suficientemente pequeño (cuando se compara con 2 cm) para proporcionar el flujo que tiene una simetría rotacional suficientemente buena (= el escalar B no depende del ángulo en la integral)

El segundo supuesto seguramente no es utilizable para todos los devanados prácticos. Pero este cálculo ignora esos casos.

    
respondido por el user287001
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"¿Es correcta la declaración actual constante?"

Bueno, el problema dice,

  

y una constante 1A de corriente que fluye a través de ella

entonces, sí, es correcto.

¿Es la simetría rotacional la razón para eliminar el término de densidad de flujo del integrando?

Sí. Si la densidad de flujo cambiara el ángulo de integración, no sería radialmente simétrico. Los dos son equivalentes.

    
respondido por el WhatRoughBeast
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Primero haz $$ I_ {enc} = \ int \ int_S J_f ~ dS ~. $$

El resultado de esto es la corriente total a través de una superficie, y si esta superficie termina totalmente dentro del toro, $$ I_ {enc} = N ~ I = 50 ~ A ~. $$

(En este caso, es DC pero también se mantendrá para AC y este término se denomina normalmente 'la suma de los giros de amperios' y es igual a la corriente de magnetización). También se puede escribir como $ $ \ Sigma ~ N ~ I ~. $$

La segunda parte de la respuesta se refiere a la integral a lo largo del borde de la superficie S, elegida para la constante H dentro del toro $$ \ oint H \ cdot dl = H \ cdot \ oint dl = H \ cdot 2 \ pi R = H \ cdot L (S) $$ con R el radio del anillo de S, dentro del toro. Si el diámetro del tubo del toro es, digamos 1 cm, R puede estar en el rango [1,5 cm - 2,5 cm].

Esto significa que el campo magnético variará a través del grosor de acuerdo con L, la longitud del borde de la superficie S como se discutió.

También tenga cuidado con $$ \ mu_0 $$ que está al acecho en algún lugar.

Si sigues los mismos principios, la ecuación es desigual, pero es difícil de calcular si las rutas no están en líneas constantes como en el ejemplo.

    
respondido por el skvery

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