¿Cómo encontrar el ancho de banda de 3 dB de cualquier función de transferencia?

el "ancho de banda de 3 dB" se llama más precisamente el "-3.01 dB de ancho de banda" e incluso más precisamente se llama " banda de media potencia ".

comience con su función de transferencia

$$ H (s) = \ frac {b_0 + b_1s + b_2s ^ 2 + ... + b_N s ^ N} {a_0 + a_1s + a_2s ^ 2 + ... + a_N s ^ N} \ triangleq \ frac {P (s)} {Q (s)} $$

evalúe esto con una frecuencia arbitraria \ $ \ omega \ $ en el eje imaginario en el plano \ $ s \ $ -.

$$ H (j \ omega) = \ frac {P (j \ omega)} {Q (j \ omega)} $$

que representa la respuesta de frecuencia de ganancia de voltaje (y cambio de fase). para ganancia de potencia, es la magnitud cuadrada de la respuesta de frecuencia:

$$ | H (j \ omega) | ^ 2 = \ left | \ frac {P (j \ omega)} {Q (j \ omega)} \ right | ^ 2 $$

evalúe la magnitud al cuadrado en el " centro " de su banda de paso. digamos que es un filtro de paso bajo (LPF) como es el ejemplo en la pregunta anterior. el centro de la banda de paso (cuando también incluye \ $ \ omega \ $ negativo) está en DC o \ $ \ omega = 0 \ $

$$ | H (j0) | ^ 2 = \ left | \ frac {P (0)} {Q (0)} \ right | ^ 2 $$

la frecuencia de -3 dB está en la frecuencia que resulta en la mitad de la potencia que en el centro de la banda de paso (en este caso, en DC).

$$ | H (j \ omega) | ^ 2 = \ frac12 | H (0) | ^ 2 $$

o

$$ \ left | \ frac {P (j \ omega)} {Q (j \ omega)} \ right | ^ 2 = \ frac12 \ \ left | \ frac {P (0)} {Q (0)} \ right | ^ 2 $$

o

$$ 2 \ | Q (0) \ P (j \ omega) | ^ 2 = | P (0) \ Q (j \ omega) | ^ 2 $$

resuelva para \ $ \ omega \ $ y tendrá un ancho de banda de -3 dB.

Se puede obtener un valor de campo de juego mirando la gráfica de magnitud.

OpuederesolverseexplícitamenteconunsistemasimbólicocomoMathematica.

Hay una forma más simple. Convierta su función de transferencia en forma estándar (evidenciando las frecuencias):

$$ H (s) = \ frac {2 (s + 3)} {(s + 6) (s + 1)} = \ frac {\ frac {s} {3} +1} {(\ frac {s} {6} +1) (s + 1)} $$

Como los polos reales están lo suficientemente separados, en otras palabras, 1–2 octavas en el peor de los casos, la frecuencia de 3 dB se puede estimar (respuesta dominada por) como el polo de frecuencia más bajo ( 1 rad / s ):

$$ H (s) \ simeq \ frac {1} {s + 1} $$

Polo dominante: uno de los polos es de una frecuencia mucho más baja / más alta que cualquiera de los otros polos y ceros (el polo de frecuencia más bajo / más alto está al menos a dos octavas del polo más cercano o cero). Mi respuesta se refiere a la estimación de ALTA FRECUENCIA para la respuesta de la función de transferencia, cuando hay un polo de frecuencia dominante (inferior). Sin embargo, un cero cerca del origen conduce a un efecto de diferenciación (que contribuye a la forma de la gráfica de magnitud en bajas frecuencias). En este caso, si hay un polo de frecuencia dominante (más alto), dictará la forma de la curva (-3dB) en la FRECUENCIA BAJA. De todos modos, para una estimación más precisa, consulte la extensa literatura sobre cómo dibujar diagramas de diagramas de Bode.

En MATLAB, simplemente puede ingresar la función de transferencia en la forma de los coeficientes de los polinomios numerador y denominador:

> > mytf = tf ([2 6], [1 7 6])

> > ancho de banda (mytf)

ans =

1.0890

O si quieres (por ejemplo) el ancho de banda de -20dB:

> > ancho de banda (mytf, -20)

ans =

19.3018