Supongo que el esquema es este:
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab
El KCL es:
$$ \ frac {V_x} {R_1} + C_1 \: \ frac {\ text {d} V_x} {\ text {d} t} = \ frac {V_1} {R_1} $$
Ambos \ $ V_x \ $ y \ $ V_1 \ $ son funciones de tiempo, con \ $ V_1 \ left (t \ right) = 10 \ cdot \ operatorname {sin} \ left (100 \ pi \: t \ derecha) \ $.
En la forma estándar para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, tal como lo usan los estudiantes de cálculo del primer año para resolver tales ecuaciones, lo anterior se convierte en:
$$ \ frac {\ text {d} V_x} {\ text {d} t} + \ frac {1} {R_1 \: C_1} \: V_x = \ frac {V_1} {R_1 \: C_1} $$
Configurando \ $ \ tau = R_1 \: C_1 \ $, el factor integrador es \ $ e ^ {\: t / \ tau} \ $ y así,
$$ \ begin {align *}
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} \: \ left (V_x \: e ^ {\: t / \ tau} \ right) & = \ frac {V_1} {\ tau} \: e ^ {\: t / \ tau} \\\\
V_x \: e ^ {\: t / \ tau} & = \ int \ frac {V_1} {\ tau} \: e ^ {\: t / \ tau} \: \ text {d} t \\\ \
V_x & = e ^ {\: - t / \ tau} \ int \ frac {V_1} {\ tau} \: e ^ {\: t / \ tau} \: \ text {d} t
\ end {align *} $$
Teniendo en cuenta la condición inicial que \ $ V_x \ left (t = 0 \ right) = 0 \: \ text {V} \ $ (para resolver la constante de integración, arriba) y simplemente configurando \ $ \ omega = 100 \: \ pi \ $, creo que lo anterior se convierte en:
$$ V_x \ left (t \ right) = 10 \ cdot \ frac {\ tau \: \ omega \ left [e ^ {\: - t / \ tau} - \ operatorname {cos} \ left (\ omega \: t \ right) \ right] + \ operatorname {sin} \ left (\ omega \: t \ right)} {1+ \ omega ^ 2 \: t ^ 2} $$
Desde aquí, calcular \ $ I \ left (t \ right) = \ frac {V_1 \ left (t \ right) -V_x \ left (t \ right)} {R_1} \ $ at \ $ t = 50 \: \ text {ms} \ $. Obtengo un valor de \ $ - 6.365 \: \ mu \ text {A} \ $.
Ejecutando un mazo de especias:
v1 n001 0 sine(0 10 50)
r1 n001 vx 100
c1 vx 0 1
.tran 0 50m 0 10n uic
.meas TRAN CURRENT FIND I(R1) WHEN time=50m CROSS=1
.end
Informes de especias:
current: i(r1)=-6.36461e-006 at 0.05
Creo que eso significa que probablemente no arruiné la solución de la ecuación.
