¿Cuál es la derivada de tiempo en t = 0 para una respuesta de paso de paso bajo de segundo orden?

A partir de cualquiera , la función de transferencia \ $ H (s) \ $, aplicando una función de paso la multiplicará por \ $ \ frac {1} {s} \ $, y luego derivarla es la igual que multiplicar por \ $ s \ $ en el dominio de Laplace. Encuentras

$$ \ mathcal {L} \ left \ {y '(t) \ right \} = H (s) \ cdot \ frac {1} {s} \ cdot s $$

Podemos usar el teorema del valor inicial para encontrar el valor en t = 0:

$$ \ lim_ {t \ to 0 ^ +} y '(t) = \ lim_ {s \ to + \ infty} s \ cdot H (s) $$

Para una función de transferencia de segundo orden, tenemos dos casos, uno con uno y uno sin cero (dos cero significa que la función de transferencia puede reducirse).

1. Sin cero

$$ H (s) = \ frac {b_0} {1 + a_1s + a_2s ^ 2} $$

La aplicación del teorema del valor inicial producirá

$$ \ lim_ {t \ to 0 ^ +} y '(t) = \ lim_ {s \ to + \ infty} s \ cdot \ frac {b_0} {1 + a_1s + a_2s ^ 2} = 0 $$

2. Con un cero

$$ H (s) = \ frac {b_0 + b_1s} {1 + a_1s + a_2s ^ 2} $$

La aplicación del teorema del valor inicial producirá

$$ \ lim_ {t \ to 0 ^ +} y '(t) = \ lim_ {s \ to + \ infty} s \ cdot \ frac {b_0 + b_1s} {1 + a_1s + a_2s ^ 2} = \ frac {b_1} {a_2} $$

Así que ahí lo tienen. El derivado siempre es cero en \ $ t = 0 \ $ a menos que haya un cero en la función de transferencia.

El filtro de paso bajo con reducción de humedad (y frecuencia normalizada) es el siguiente: -

$$ H (s) = \ dfrac {1} {s ^ 2 + 2 \ zeta s + 1} $$

Tiene una respuesta de paso de: -

$$ \ dfrac {1} {s} \ cdot \ dfrac {1} {s ^ 2 + 2 \ zeta s + 1} $$

Y, para la comodidad de poder realizar una transformación inversa de Laplace, se hace igual a esto: -

$$ \ dfrac {1} {s [(s + a) ^ 2 + b]} $$

Donde \ $ a = \ zeta \ $ y \ $ b = \ sqrt {1- \ zeta ^ 2} \ $

Al usar tablas de Laplace, esto se convierte en: -

$$ 1- \ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ zeta ^ 2}} \ cdot e ^ {- \ zeta t} \ cdot \ sin (t \ cdot \ sqrt {1- \ zeta ^ 2 } + \ phi) $$

Donde \ $ \ phi = \ arccos (\ zeta) \ $

Al examinar la fórmula, puede ver que cuando \ $ \ zeta \ $ se acerca a cero, la derivada de tiempo también se acerca a cero en t = 0. Vea la mitad inferior de la imagen: -

Fuente de la imagen .

Para otros valores de \ $ \ zeta \ $, simplemente diferencie la fórmula sobre la imagen, pero lo que encontrará es que la derivada en t = 0 siempre es cero porque si observa un filtro de paso bajo típico de segundo orden : -

.

Y si aplica un paso en la entrada, la tasa de cambio del voltaje de salida del capacitor es proporcional a la corriente, PERO la corriente no cambia instantáneamente debido al inductor. Por lo tanto, la derivada en t = 0 es siempre cero.

Debido a que se desea un cierto parámetro en el dominio del tiempo, el método más directo sería encontrar la función g (t) para la etapa de respuesta y calcular la primera derivada. Este es, sin embargo, un procedimiento bastante complicado.

Por lo tanto, es más conveniente no abandonar el dominio de la frecuencia y aplicar el " teorema de pendiente inicial " (que da inmediatamente la pendiente g ′ (0) de la respuesta al escalón en t = 0) :

Similar al teorema del valor inicial (encontrar (Hs) para s > > > > > >) el teorema de la pendiente inicial requiere encontrar el valor s * H (s) para frecuencias infinitas.

Este paso de cálculo es idéntico a la última parte de la pregunta original que lleva a g ′ (0) = 0 .

Comentario: el teorema de la pendiente inicial también se puede extender a derivados más altos (Ref: Active Network Design, Clause S. Lindquist)

Addendum (dominio del tiempo) :

Para la función del sistema H (s) dada, se puede encontrar que la función de respuesta al escalón correspondiente es

g (t) = 1 - exp (Dwot) * {cos (wnt) + [D / SQRT (1-D²)] sin (wnt)}

con la frecuencia natural wn = wo * SQRT (1-D²) .

y la primera derivada en t = 0 se puede encontrar que

g ′ (t = 0) = woD-Dwn / SQRT (1-D²)]

Reemplazando wn por wo obtenemos (como se espera):

g′(t=0)=0