"Dependencia" no es una cosa, pero ...

No hay un concepto físico de "dependencia de la energía", pero creo que solo estás tratando de describir la relación entre la producción de energía y la energía recibida a una distancia determinada.

Dado que la energía es un término acumulativo, generalmente nos referimos a su tasa de acumulación (flujo). Por analogía, piense en la energía como la cantidad de agua en un cubo. Podríamos tener un balde con una abertura pequeña, que admite solo un pequeño flujo, dejamos bajo el grifo durante mucho tiempo, o bien, podríamos tener un cubo abierto que acumulará la misma cantidad de agua en él. un tiempo muy corto

Para realizar una medición de agua significativa, debemos estandarizar, no solo el tiempo (la energía instantánea se llama potencia ), sino el tamaño ( área ) de la apertura que estamos usando para hacer nuestra medida. En energía radiativa, llamamos a esta medida Intensidad .

Intensidad = Potencia / Área

Es así de simple. Esto no tiene nada que ver con LED, vidrio, bricolaje o cualquier otra cosa que no sea la óptica básica.

En tres dimensiones, para una fuente que emite energía de manera uniforme en todas las direcciones, la intensidad disminuye a medida que $$ \ frac {1} {R ^ 2} $$ donde r es la distancia desde la fuente.

Su suposición sobre una ley del cuadrado inverso es no válida aquí.

Se llama una lente

¿Ve la parte anterior sobre uniformemente en todas las direcciones ? Esa lente de plástico en su LED hace que esa suposición sea incorrecta. Las lentes enfocan la energía radiada en un área más pequeña, lo que aumenta la intensidad inicial y disminuye la velocidad a la que esa intensidad se pierde en la distancia.

En RADAR y en el diseño de otras antenas EM, la expresión dBi se utiliza para definir la ganancia de un sistema de antenas en relación con un radiador isotrópico en las frecuencias de radio.

Entonces ...

Intensidad = Potencia / Área

En su pregunta, el "área" es en realidad el área de una esfera de radio R que rodea la fuente de potencia de salida P:

$$ I = \ frac {P} {4 \ pi R ^ 2} $$

Esa es el área de superficie de una esfera en el denominador.

Sin embargo, no está emitiendo a toda la esfera, solo un cono estrecho que la lente restringe. Definamos un término L, que representa el factor de reducción en la iluminación causada por la lente.

$$ L = \ frac {A_ {lens}} {A_ {sphere}} $$

Ya conocemos A_sphere (arriba). Para encontrar A_lens considera:

A_lenseseláreadesuperficiedelaesferasobrelalatitudnaranja.

Paraencontrar"h" en la figura, necesitamos conocer el ángulo de radiación de la lente (esto suele ser de 30 grados medios para el tipo de LED en su imagen, pero el valor exacto estará disponible en la hoja de datos de la parte).

Usando trigonometría podemos encontrar ...

$$ R-h = R * cos (\ theta) $$

$$ h = R - R * cos (\ theta) $$

y por lo tanto el área de la lente ...

$$ A_ {lens} = 2 * \ pi * R ^ 2 * (1 - cos (\ theta)) $$

¡Ta-da! (por ejemplo, la respuesta)

Poniéndolo todo junto, vemos que el poder no disminuye a la velocidad de la ley del cuadrado inverso, sino sustancialmente mejor, por un factor de A_lens:

$$ I = \ frac {P} {A * L} $$ $$ I = \ frac {P} {\ frac {A_ {esfera} * A_ {lente}} {A_ {esfera}}} = \ frac {P} {A_ {lente}} $$

... y así:

$$ I = \ frac {P} {2 * \ pi * R ^ 2 * (1 - cos (\ theta))} $$

donde theta es el semiángulo de radiación de la lente. La mayoría de las hojas de datos informarán el ángulo completo, así que asegúrate de dividir entre 2 antes de insertarlo en esta fórmula.