¿Por qué usamos las transformadas de Laplace para analizar circuitos transitorios?

Es fácil resolver circuitos de filtro simples en el dominio del tiempo, pero se convierte en un punto de inflexión donde la mayoría de los ingenieros preferirían resolver problemas en el dominio de la frecuencia y aplicar (por ejemplo) una función escalonada. Encontrar el Laplace inverso es bastante sencillo debido a las tablas de Laplace.

Como ejemplo de un filtro de paso bajo RLC, los ingenieros se acostumbran a la función de transferencia: -

$$ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_n ^ 2 s + \ omega_n ^ 2} $$

Y, aplicar (por ejemplo) una función de paso es tan simple como multiplicar por 1 / s: -

$$ \ dfrac {1} {s} \ cdot \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_n ^ 2 s + \ omega_n ^ 2} $$

Los ingenieros que están familiarizados con esto pueden reconocer que esto se convierte a un formulario estándar y el siguiente paso es usar las tablas para obtener la respuesta transitoria.

Además, el término \ $ \ omega_n \ $ (la frecuencia de resonancia natural) puede ser factorizado muchas veces para que la solución de la fórmula de la función escalonada para \ $ \ omega_n = 1 \ $ comience con: -

$$ \ dfrac {1} {s} \ cdot \ dfrac {1} {s ^ 2 + 2 \ zeta s + 1} $$

Esto se reorganiza a una forma estándar como esta (resonancia no atenuada): -

$$ \ dfrac {1} {s [(s + a) ^ 2 + b ^ 2]} $$

Donde \ $ a = \ zeta \ $ y \ $ b = \ sqrt {1- \ zeta ^ 2} \ $

Las tablas de Laplace nos dan esto: -

$$ H (t) = 1+ \ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ zeta ^ 2}} \ cdot e ^ {- \ zeta t} \ cdot \ sin (t \ cdot \ sqrt { 1- \ zeta ^ 2} + \ phi) $$

Donde \ $ \ phi = \ arccos (\ zeta) \ $

Pero probablemente solo se convencerá cuando se enfrente a situaciones un poco más complejas o realmente necesite analizar el espectro de frecuencias.

En este contexto, la transformada de Laplace es simplemente una herramienta que utilizamos para tratar las ecuaciones diferenciales. Creo que proporciona una sensación un poco más intuitiva de cómo las respuestas cambian con la frecuencia, pero en realidad, es solo una herramienta para tratar las ecuaciones diferenciales.

La transformación realmente comienza a brillar cuando se están conectando señales en cascada. Una variedad de propiedades de la transformada realmente se vuelven muy útiles entonces. Por ejemplo, las circunvoluciones en el dominio del tiempo se convierten en simples multiplicaciones en el dominio de la frecuencia. También hay una variedad de herramientas de dominio de frecuencia que facilitan el control.

Empiezas a usar las transformaciones para sistemas simples, por lo que eres fácil cuando empiezas a usarlas para situaciones más avanzadas, no porque sean intuitivamente fáciles. De hecho, la comprensión es muy cuántica. Podrá "hacer" problemas con éxito, pero puede tomar muchas iteraciones, incluso años, antes de asimilar las transformaciones.

Algún día deberá comprender un requisito de diseño del sistema para la respuesta de dominio de frecuencia y tiempo.

Las transformadas de Laplace son útiles para muchas aplicaciones en el dominio de la frecuencia con un orden polinominal que proporciona pendientes estándar de 6dB / octava por o 20 dB / década. Pero las faldas pueden ser afiladas o lisas como las ve este filtro de paso de banda a 50Hz +/- 10%.

El dominio del tiempo lo ayuda a comprender por qué el pequeño timbre proviene de la respuesta al escalón o del cambio abrupto en la fase y el voltaje de este generador de barrido desde 200 Hz hasta el inicio a 20 Hz.

Es posible que algún día necesites esto y Math te ayude a entender las relaciones.