En la instrumentación geológica, es frecuente encontrar la medición de "integración de la aceleración", como la "estimación empírica" de la velocidad, es decir, la Velocidad del Punto de Partícula (PPV).
Suponiendo:
- Una real velocidad física y magnitudes de velocidad - \ $ a_0 (t) \ $ y \ $ v_0 (t) \ $ - para un sistema en constante oscilación, desconocido. Esto es estándar en sensores colocados en el suelo. Este no es el caso de la aeronáutica y la navegación necesariamente,
- Un ruido aditivo eléctrico \ $ e (t) \ $ ~ \ $ N (0, \ sigma) \ $, desconocido,
- Una medida de aceleración, \ $ a (t) \ $, conocida,
- Un tiempo de muestreo \ $ \ tau \ $ a lo largo del tiempo, funciones e integrales (solo para tratar el proceso de forma discreta, aunque no es necesario).
Un registro de acelerómetro puede modelarse simplemente como:
$$ a (t) = a_0 (t) + e (t) $$
Por lo tanto, la estimación de la velocidad sería:
$$ v (t) = \ int_0 ^ ta_0 (\ tau) d \ tau + \ int_0 ^ te (\ tau) d \ tau = v_0 (t) + \ int_0 ^ te (\ tau) d \ tau $ $
Para cancelar la tendencia "ruidosa" en \ $ v (t) \ $, un procedimiento de "corrección de línea de base" a menudo se establece como la solución "correcta". Lo que no es nada más que ajustar una función habitual al proceso de wiener.
Este es un proceso de "Dead Reckoning".
¿Cuál debería ser la manera óptima de estimar \ $ v_0 (t) \ $? desde un punto de vista matemático .
PS: la estimación en el instante \ $ t \ $, de un Proceso de Wiener con desviación condicional \ $ \ sigma \ $ es:
\ $ w (t) \ $ ~ \ $ N (0, \ sigma \ sqrt t) \ $
Por lo tanto, si la resolución estimada -de resolución DAQ- de la medición de velocidad es \ $ \ nu \ $, después del tiempo \ $ (\ frac {\ nu} {\ sigma}) ^ 2 \ $ el ruido integrado superará la resolución del sensor con confianza "1-sigma", invalidando el procedimiento. En realidad, después del tiempo \ $ t \ $ el proceso de wiener en sí estará en cualquier lugar en el intervalo de confianza 1-sigma \ $ (- \ sigma \ sqrt t, \ sigma \ sqrt t) \ $.
¿Existe un método estándar que tenga en cuenta el error integrado gaussiano inherente, disponible? Estoy tratando de resolver -todavía estoy intentando- este problema imponiendo:
- La velocidad no tiene una "línea de base" real, es decir, una medición de velocidad "real" se comportará como una medida de acelerómetro, centrada en cero.
- La velocidad en cada intervalo más pequeño no debe tener "línea de base". Esto es incorrecto a intervalos muy pequeños, pero es una solución potencial.
- Una solución fácil es tomar cualquier filtro más suave, con una apariencia y sensación de poder de filtrado. De esta manera se estima una tendencia, eliminando el ruido aleatorio y dejando un ruido gaussiano. Esta es la solución que tengo en este momento.
- Las soluciones estándar, como los filtros de paso bajo de Butterworth como corrección de línea de base, aunque son correctas, no son correctas, ya que el butterworth está diseñado para eliminar bajas frecuencias específicas, y el proceso de Wiener es una rampa en PSD.
- Una solución potencial podría ser una imitación del PSD de Wiener y aplicar ese filtrado.
Gracias de antemano,
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