¿Por qué usamos esta aproximación particular para la transformada bilineal?

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Tal como lo entiendo, para una señal \ $ f (t) \ $ a tiempo, su transformada de Laplace \ $ \ mathfrak {L} \ left \ {f (t) \ right \} = F_1 (s) \ $ y Z transforman \ $ \ mathfrak {Z} \ left \ {f (t) \ right \} = F_2 (z) \ $ están relacionados por una transformación \ $ z = e ^ {sT} \ leftrightarrow s = 1 / T \, \ log (z) \ $ donde \ $ T \ $ es el período de muestreo (ya que la transformación Z es discreta en el tiempo).

En la práctica, esto se aproxima al primer grado de la siguiente manera $$ \ begin {align *} z & = e ^ {sT} \\ & = \ frac {e ^ {sT / 2}} {e ^ {-sT / 2}} \\ & \ approx \ frac {1 + sT / 2} {1-sT / 2} \ end {align *} $$ y por lo tanto \ $ (1-sT / 2) z \ approx1 + sT / 2 \ $ so \ $ sT / 2 \ approx (z-1) / (z + 1) \ $ y finalmente \ $ s \ approx \ frac2T \ frac {z-1} {z + 1} = \ frac2T \ frac {1-z ^ {- 1}} {1 + z ^ {- 1}} \ $.

Ahora, entiendo hasta aquí, pero no entiendo por qué usamos esta aproximación de primer orden en particular, por ejemplo, \ $ z = e ^ {sT} \ approx1 + sT \ leftrightarrow s \ approx (z- 1) / T = \ frac {1-z ^ {- 1}} {Tz ^ {- 1}} \ $.

¿Esta aproximación se "comporta" de alguna manera significativamente peor para la mayoría de los propósitos?

Lo siento por las etiquetas: probé varias cosas como 'bilinear-transform' pero no existían y no tengo los puntos para crearlas.

    
pregunta oldrinb

3 respuestas

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La Transformada de Euler Adelante $$ z = e ^ {sT} \ approx1 + sT \ leftrightarrow s \ approx (z-1) / T = \ frac {1-z ^ {- 1}} {Tz ^ {- 1}} $$ es fácil de entender ya que es una traducción directa y escala del dominio \ $ s \ $ - al dominio z. Pero la traducción puede transformar polos de dominio \ $ s \ $ estables en polos de dominio \ $ z \ $ inestables.

Para ver esto, considera el siguiente diagrama.

El plano de la mitad izquierda en el dominio \ $ s \ $ - (sombreado) se escala en \ $ T \ $ y se traduce en \ $ 1 \ $ al dominio \ $ z \ $ -. Debe quedar claro ver que un polo X que es estable en \ $ s \ $ puede ser inestable en \ $ z \ $ por la transformación de Euler Adelante.

Encontraste,latransformaciónbilineal$$s\approx\frac2T\frac{z-1}{z+1}=\frac2T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$traduceelLHPcompletodeldominiosenelcírculounitariodeldominio\$z\$-pordistorsióndefrecuenciaatravésdeunplanowintermedio.

Refiriéndosealdiagramaacontinuación(ref:Ogata.K,DiscreteTimeSystems,1995,Prentice-Hall),puedeverquetodoelLHPdeldominio\$s\$-(a)setransformaalaunidad-círculo(b)atravésdelaescaladelplanow(c).

EsporesoqueBilinearseprefiereenlaprácticaalForwardEuler.Sinembargo,hayotrasopciones,comolacoincidenciadepolocero(queyoprefiero),quepuedenemplearseenBilineardebidoaladistorsióndefrecuenciainvolucradaenBilinear.

    
respondido por el akellyirl
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Puedo responder a su pregunta solo en un contexto con la técnica de condensador conmutado (S / C) que utiliza las herramientas matemáticas del procesamiento de señales digitales. Aquí se utilizan cuatro aproximaciones diferentes:

(1) Euler forward (EF), (2) Euler backward (EB), (3) bilinear (BI) y (4) LDI (integrador discreto sin pérdida).

Para circuitos S / C, es una práctica común utilizar circuitos S / C basados en integradores. Aquí están las diferencias importantes:

(1) integrador de EF: para frecuencias crecientes, la aproximación provoca errores de fase POSITIVOS

(2) EB-integrator: para frecuencias crecientes, la aproximación provoca errores de fase NEGATIVOS

(3) BI -integrador: Sin errores de fase y amplitud, sin embargo, para frecuencias crecientes hay una especie de "contracción" del eje de frecuencia basado en una función arctan . Para todas las funciones de paso bajo y paso de banda, este efecto provoca un cero real para una frecuencia finita w = 0.5 * wcl (wcl: frecuencia de reloj). Este efecto se aprecia porque todas las repeticiones espectrales periódicas no se superponen y, por lo tanto, no se molestan entre sí.

(4) LDI-integrator: combinación de dos integradores con aproximación EF y EB, respectivamente.

Espero que esto ayude a responder una parte de tu pregunta.

EDITAR: La aproximación (z-1) / T que ha mencionado es equivalente a la transformación EF .

    
respondido por el LvW
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Además del excelente punto sobre la estabilidad de akellyirl, otra ventaja de la transformada bilineal (o método de Tustin) en comparación con las diferencias hacia adelante y hacia atrás es que conduce a una mejor aproximación a la integral.

Vea la siguiente imagen:

de enlace

    
respondido por el Luca Citi

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