¿Determinar la existencia de la función de transferencia H (s) y la transformada de Fourier H (w) para sistemas sin LTI?

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Dado que $$ y (t) = \ cos (2 \ pi t) x (t) $$ donde \ $ x (t) \ $ es una entrada del sistema y \ $ y (t) \ $ es la entrada salida del sistema, necesito determinar si existe una relación \ $ H (s) / H (w) \ $. Dado que este sistema no es LTI, realmente no sé cómo abordarlo. No puedo aplicar una Transformada de Laplace incluso cuando se convierte en forma polar, y estoy perdido.

En otro caso de un sistema no LTI que causa dolores de cabeza, he logrado determinar que $$ h (t) = \ frac {\ sin (10 \ pi t)} {\ pi t} $$ (o \ $ 10 \ operatorname {sinc} (10 \ pi t) \ $ si lo prefiere), y por lo tanto creo que su Transformada de Fourier \ $ H (w) \ $ debe ser un paso de unidad centrado en \ $ 10 \ pi \ $, pero No sé cómo determinar si este formulario tiene o no una Transformada de Laplace (es decir, \ $ H (s) \ $). Ciertamente no lo veo como un formulario estándar en ninguna de las tablas de Transformación de Laplace que he encontrado.

Cualquier puntero en la dirección correcta sería muy apreciado.

    
pregunta Rome_Leader

1 respuesta

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Su sistema es un modulador.

Desde \ $ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ dfrac {e ^ {\, j2 \ pi f_0 t} + e ^ {\, - j2 \ pi f_0 t}} {2} \ $ it sigue (\ $ f_0 = 1 \ $):

\ begin {align *}   y (t) = \ cos (2 \ pi t) \, x (t) = \ dfrac {e ^ {\, j2 \ pi f_0 t} + e ^ {\, - j2 \ pi f_0 t}} {2 } x (t)   = \ dfrac 1 2 x (t) e ^ {\, j2 \ pi f_0 t} + \ dfrac 1 2 x (t) e ^ {\, - j2 \ pi f_0 t} \ end {align *}

Dada la siguiente propiedad de la transformada de Fourier:

\ begin {align *}   F \ {x (t) e ^ {\, j2 \ pi f_0 t} \} = X (f-f_0) \ end {align *}

Transformando con Fourier y (t) da:

\ begin {align *}   Y (f) = \ dfrac 1 2 X (f-f_0) + \ dfrac 1 2 X (f + f_0) = \ dfrac 1 2 X (f-1) + \ dfrac 1 2 X (f + 1) \ end {align *}

    
respondido por el Lorenzo Donati

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