¿Por qué los fasores funcionan con las funciones de transferencia de dominio s?

En realidad, los fasores y la expresión de dominio s tienen alguna relación. Recuerde que la variable 's' en la transformación laplace se define como:

$$ s = \ sigma + \ text {j} \ omega $$

Por lo tanto, cuando sustituye \ $ s \ $ por \ $ \ text {j} \ omega \ $ en una función de transferencia, está llevando su función al dominio fasor (que producirá solo la solución de estado estable, no la respuesta transitoria).

Ahora, recuerde que cuando usa fasores, está aprovechando la identidad de Euler, es decir, \ $ e ^ {\ text {j} \ omega t} = \ cos (\ omega t) + \ text {j } \ sin (\ omega t) \ $. Aunque tenga una fuente real, digamos que es \ $ v (t) = \ text {V} _o \ cos (\ omega t) \ $, puede usar la identidad de Euler para expresarlo como

$$ v (t) = \ text {V} _oe ^ {\ text {j} \ omega t} $$

o más rigurosamente definido como

$$ v (t) = \ Re {[\ text {V} _oe ^ {\ text {j} \ omega t}]} $$

donde \ $ \ Re \ $ significa que desea la parte real de la expresión. Ese es el caso ya que su fuente es un coseno, o la parte real de la identidad de Euler.

Alternativamente, si la fuente fuera un seno, entonces

$$ v (t) = \ Im {[\ text {V} _oe ^ {\ text {j} \ omega t}]} $$

donde \ $ \ Im \ $ significa que quieres la parte imaginaria de la identidad de Euler.

Eso significa que, una vez que resuelva su circuito, deberá tomar la parte real (si su fuente fue un coseno) o la parte imaginaria (si su fuente era un seno) de la solución de valor complejo.

Espero que ayude!

Puede derivar manualmente la respuesta general en estado estable sinusoidal para sistemas LTI y esta relación se hace clara. Sea \ $ H (s) \ $ la función de transferencia del sistema, \ $ h (t) \ $ la respuesta al impulso (la transformada de Laplace inversa de la función de transferencia), y \ $ V_C (t) \ $ sea la constante Respuesta del estado. Con una entrada sinusoidal generalizada \ $ g (t) = V_ {in} \ sin (\ omega t + \ theta) \ $, la respuesta general, según el teorema de convolución, es la siguiente: $$ \ int_0 ^ t {h (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau} $$ $$ = \ int_0 ^ \ infty {h (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau} - \ int_t ^ \ infty {h (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau} $$ Dado que los sistemas hechos exclusivamente de componentes de RLC son de naturaleza estable, es intuitivo que el segundo término decae a medida que \ $ t \ $ se acerca a \ $ \ infty \ $ y el primer término no, por lo que se puede decir que el primer término es estable Respuesta de estado \ $ V_C (t) \ $. $$ V_C (t) = \ int_0 ^ \ infty {h (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau} = V_ {en} \ int_0 ^ \ infty {h (\ tau) \ sin (\ omega (t- \ tau) + \ theta) d \ tau} $$ Fórmula de Euler: \ $ \ sin (z) = \ frac {e ^ {jz} -e ^ {- jz}} {2j} \ $ $$ = \ frac {V_ {en}} {2j} \ int_0 ^ \ infty {h (\ tau) \ left (e ^ {j (\ omega (t- \ tau) + \ theta)} - e ^ { -j (\ omega (t- \ tau) + \ theta)} \ right) d \ tau} $$ $$ = \ frac {V_ {in}} {2j} \ left (e ^ {j (\ omega t + \ theta)} \ int_0 ^ \ infty {h (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau} -e ^ {- j (\ omega t + \ theta)} \ int_0 ^ \ infty {h (\ tau) e ^ {j \ omega \ tau} d \ tau} \ right) $$ La función de transferencia evaluada en \ $ j \ omega \ $: \ $ \ int_0 ^ \ infty {h (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau} = H (j \ omega) \ $ $$ = \ frac {V_ {in}} {2j} \ left (e ^ {j (\ omega t + \ theta)} H (j \ omega) -e ^ {- j (\ omega t + \ theta)} H (-j \ omega) \ derecha) $$ $$ \ small {= \ frac {V_ {in}} {2j} ((\ cos (\ omega t + \ theta) + j \ sin (\ omega t + \ theta)) H (j \ omega) - (\ cos (\ omega t + \ theta) -j \ sin (\ omega t + \ theta)) H (-j \ omega))} $$ $$ = V_ {in} \ left (\ frac {H (j \ omega) -H (-j \ omega)} {2j} \ cos (\ omega t + \ theta) + \ frac {H (j \ omega) + H (-j \ omega)} {2} \ sin (\ omega t + \ theta) \ derecha) $$ Desde \ $ H (-j \ omega) = \ overline {H (j \ omega)} \ $, $$ = V_ {en} (\ mathfrak {I} (H (j \ omega)) \ cos (\ omega t + \ theta) + \ mathfrak {R} (H (j \ omega)) \ sin (\ omega t + \ theta)) $$ $$ V_C (t) = V_ {in} | H (j \ omega) | \ sin (\ omega t + \ theta + \ angle H (j \ omega)) $$ Esto implica que la salida es simplemente la misma sinusoide que la entrada, escalada por un factor y desplazada por un ángulo de fase completamente determinado por \ $ H (j \ omega) \ $. Específicamente, si transformaras esto en un fasor, obtendrás exactamente el producto \ $ (V_ {in} \ angle \ theta) (H (j \ omega)) \ $.

La transformada de Laplace de \ $ f (t) \ $ se define como: $$ F (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt $$ y la transformada de Fourier de \ $ f (t) \ $ se define como: $$ F (j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- j \ omega t} f (t) dt $$ Claramente, la sustitución \ $ s \ large \ leftrightarrow \ small j \ omega \ $ realiza la transformación entre los dos dominios.

Para el análisis de TF asumimos que las condiciones iniciales son cero, por lo que, por ejemplo, \ $ cos (\ omega t) \ $ debe reemplazarse con \ $ u (t) cos (\ omega t) \ $, y el Fourier correspondiente la transformación es \ $ \ large \ frac {j \ omega} {{\ omega _0} ^ 2- \ omega ^ 2} \ $, que se obtiene de \ $ s \ rightarrow j \ omega \ $ en el LT para \ $ cos (\ omega t) \ $; viz \ $ \ large \ frac {s} {s ^ 2 + {\ omega _0} ^ 2} \ $