Recientemente me encontré con una declaración que dice: Si la señal m (t) tiene ancho de banda B, entonces pow (m (t), n) tendrá ancho de banda nB. Para probarlo matemáticamente comencé,
Sea n = 2, y (t) = m (t) xm (t)
y (t) = Convolución (M (f), M (f)) :: donde M (f) es la transformada de Fourier de M (t)
Después de eso, el libro indica que y (t) tiene un ancho de banda 2B. ¿Alguien puede señalar lo que me estoy perdiendo aquí?
Por supuesto, aumentar m (t) a la potencia 2 es cuadrar la señal y si la señal consistiera en dos ondas sinusoidales espaciadas en f1 y f2, f1 se transformaría en 2f1 y f2 se transformaría en 2f2. Entonces, si f1 fuera de 100 Hz y f2 fuera de 1000 Hz, su ancho de banda original sería de 900 Hz y su ancho de banda (después de la cuadratura) sería: -
2000 Hz - 200 Hz = 1800 Hz, es decir, su ancho de banda se ha duplicado después de la cuadratura.
También habrá otros artefactos: las frecuencias de suma y diferencia estarán presentes y estos son bien conocidos en los esquemas de modulación porque muchos de los esquemas de modulación implican la multiplicación. Por ejemplo, la modulación de amplitud: -
Aquí,laseñaldeaudioqueocupalabandabasesemultiplicaporuna"frecuencia portadora" y la señal final se transforma desde la banda base para que sea el doble del ancho espectral de la banda base centrada en la frecuencia de la portadora; tal vez esto es lo que significa su libro cuando dice "que y (t) tiene ancho de banda 2B"?
Por lo tanto, funciona para la cuadratura y si observas algunas identidades trigonométricas para senos elevados a otros poderes, descubrirías que funciona para esos otros poderes.
Debido a que esto no es un intercambio de pila de matemáticas, no siento ninguna obligación de probar para n > 2 pero wiki al rescate : -
Como puede ver, sea cual sea la potencia aumentada para obtener una frecuencia de onda sinusoidal de esos tiempos de potencia \ $ \ theta \ $ en algún lugar de la respuesta.
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