¿Encontrar la transformada de lugar de una ola?

En el intervalo [0, 0.002], la señal tiene una pendiente de \ $ 100 / 0.002 = 50000 \ $. Luego, en [0.002, 0.004] su \ $ - 50000 \ $ y en [0.004, \ $ \ infty \ $] es \ $ 0 \ $.

Ahora tratemos de representar la señal original como una suma de señales de rampa (rampa cambiada). ie.,

$$ y = y_1 + y_2 + y_3 $$

Intervalo 1, [0, 0.002] : la pendiente es de 50000, por lo que se requiere una rampa con una pendiente de 5000. Asi que $$ y_1 = 50000t $$

Intervalo 2, [0.002, 0.004] : la pendiente aquí es -50000. Por lo tanto, debe agregarse aquí otra rampa (\ $ y_2 \ $) que comienza en \ $ t = 0.002 \ $ para hacer la pendiente = \ $ - 50000 \ $.

$$ y = 50000t + y_2 $$

Tomando el derivado en ambos lados

$$ \ frac {dy} {dt} = 50000 + \ frac {dy_2} {dt} = -50000 $$ $$ \ frac {dy_2} {dt} = -100000 $$

Entonces, la pendiente de \ $ y_2 = -100000 \ $ y

$$ y_2 = -100000 (t-0.002) $$

Intervalo 3, [0.004, \ $ \ infty \ $] : siguiendo el análisis similar,

$$ y_3 = 50000 (t-0.004) $$

Entonces,

$$ y = 50000t -100000 (t-0.002) + 50000 (t-0.004) $$

Tomando la transformada de Laplace, $$ Y (s) = \ frac {50000} {s ^ 2} (1-2e ^ {- 0.002s} + e ^ {- 0.004s}) \ tag1 $$

EDIT: calculando la transformada de Laplace obtenida en (1)

Si \ $ F (s) \ $ es la transformación laplace de \ $ f (t) \ $, entonces por propiedad de la transformada de Laplace, $$ f (t) \ Leftrightarrow F (s) $$ $$ f (t-t_0) \ Leftrightarrow e ^ {- t_0s} F (s) $$

Sabemos que: $$ t \ Leftrightarrow \ frac {1} {s ^ 2} $$ Usando la propiedad mencionada arriba, $$ (t-0.002) \ Leftrightarrow \ frac {1} {s ^ 2} \ times e ^ {- 0.002s} $$ $$ (t-0.004) \ Leftrightarrow \ frac {1} {s ^ 2} \ times e ^ {- 0.004s} $$

La forma más fácil es definir \ $ f (t) \ $ como una función por partes

$$ f (t) = \ begin {cases} \ frac {100} {0.002} \ cdot t, & 0 \ le t \ le 2 \ cdot 10 ^ {- 3} \\ 100- \ frac {100} {0.002} \ cdot (t-2), & 2 \ cdot 10 ^ {- 3} < t \ le 4 \ cdot 10 ^ {- 3} \\ 0, & \ text {de lo contrario} \ end {cases} \ tag {1} $$

Luego con la definición de la transformada de Laplace

$$ F (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} dt $$

acaba de dividir la integral y usar la expresión superior en (1) en el intervalo \ $ [0,2] \ $, y la expresión inferior en el intervalo \ $ [2,4] \ $.

Otra forma de resolver tales problemas es calcular la transformada de Laplace de la derivada de \ $ f (t) \ $, que es una función constante por partes. El derivado de \ $ f (t) \ $ se puede escribir utilizando la función de pasos \ $ u (t) \ $:

$$ f '(t) = k \ cdot [u (t) -2u (t-2) + u (t-4)] \ tag {2} $$

donde \ $ k = 100 / 0.002 \ $, y donde he usado unidades de milisegundos. Desde (2) puede anotar inmediatamente el resultado observando que la transformada de Laplace de \ $ u (t-t_0) \ $ es \ $ e ^ {- st_0} / s \ $. Tan pronto como tenga la transformada de Laplace de \ $ f '(t) \ $, solo necesita dividir por \ $ s \ $ para obtener la transformada de Laplace de \ $ f (t) \ $.

Y, por cierto, \ $ 100 / 0.002 = 50000 \ $, y no \ $ 5000 \ $.