Una pregunta extraña sobre el punto de corte de un filtro de paso bajo RC

Su confusión parece provenir de pensar que los cálculos matemáticos sugieren que habría muchos resultados posibles, pero su intuición dice que solo debería haber uno. La respuesta es que solo hay una salida, y aquí está la razón.

Un filtro de paso bajo RC es un sistema lineal.

Para sistemas lineales, lo siguiente es cierto.

F (X1 + X2 + X3 ...) = Y1 + Y2 + Y3 ...

Lo que simplemente significa que ...

Si la entrada X1 produce la salida Y1.

Y

Si la entrada X2 produce la salida Y2.

entonces

la entrada (X1 + X2) produce salida (Y1 + Y2)

Una respuesta escalonada, que contiene todas las frecuencias, simplemente produce una salida que es la suma de la respuesta del filtro en cada frecuencia. Tenga en cuenta que aunque hay una cantidad infinita de elementos que se agregan, su suma converge a un número finito en cada punto en el tiempo. Esa suma es una caída exponencial que eventualmente alcanza el valor de la entrada por pasos.

No debes olvidar que la gráfica de amplitud no es más que la mitad de la información que te proporciona una gráfica de bode: la otra mitad es la fase , y está descuidando que esto implica un retraso diferente para las diferentes partes espectrales de su señal de entrada.

Si sabe que los componentes de Fourier de una función escalonada incluyen todas las frecuencias y sabe que el filtro de paso bajo se atenúa a 6 dB por octava con un cambio de fase que va desde dos décadas por debajo del punto de ruptura cerca de cero. luego, acercándose a 90 ° dos décadas por encima del punto de ruptura, por supuesto, la impedancia de la resistencia es igual a la impedancia de los reactivos y la amplitud aparente de ese triángulo de ángulo recto es .707 con un cambio de fase de 45 grados.

El espectro de Fourier y el cambio de fase de la salida del filtro de paso bajo coinciden con la función de transferencia del propio filtro

  

Entiendo la relación entre la constante de tiempo RC para   1 / (2 * pi * f_c). Entiendo que significa que hay un intercambio entre   el tamaño de la constante de tiempo y la frecuencia de corte del condensador   punto. Entiendo que este punto determina el tamaño del "Cambio de fase"   etc.

Está hablando de la función de transferencia aquí y no de la respuesta a un paso. La función de transferencia es equivalente a la respuesta de una onda sinusoidal "barrida" en la entrada y no a un cambio de paso. Los cambios de paso se manejan de manera diferente en el dominio de frecuencia.

  

Pero, si aplico una función de paso, digamos en el tiempo t_0. Entonces, en este exacto   Tiempo, se dan todas las frecuencias. Por lo tanto, en este momento exacto, el condensador   Debe tener todas las propiedades de todas las frecuencias. Así que Vout / Vin debería   obtener un número infinito de valores en el tiempo exacto t_0. Entonces, ¿cómo   esto tiene sentido?

Lo que está haciendo mal es que intenta aplicar una función de paso a una función de transferencia. Eso tiene que hacerse de otra manera. Cuando está en el dominio del tiempo, no puede (y sin cuidado) mezclar y combinar los estímulos del dominio de la frecuencia y el dominio del tiempo y las funciones de transferencia.

Cuando estás en el dominio de la frecuencia, puedes mezclar fácilmente el equivalente de un paso a una función de transferencia. Pero, en el dominio de frecuencia, un "paso" no se parece matemáticamente a lo que es en el dominio de tiempo.

Los dos dominios están estrechamente relacionados por "Laplace", pero no pueden mezclarse tan fácilmente sin la transformación de uno a otro.

• Considere su filtro de paso bajo RC: tiene un TF de \ $ \ dfrac {1} {1 + sCR} \ $
• Un paso en el dominio de frecuencia es \ $ \ dfrac {1} {s} \ $
• Puede multiplicarlos en el dominio f para obtener \ $ \ dfrac {1} {1 + sCR} \ cdot \ dfrac {1} {s} \ $
• Y puede convertir eso de nuevo al dominio t usando tablas de Laplace según este ejemplo similar: -

Cuál es la respuesta normalizada de un filtro de paso bajo RC a un cambio de paso con a = 1 / RC.

  

Entonces, ¿qué sentido tiene esto? El condensador debe tener un comportamiento.   para cada punto del tiempo?

En el dominio del tiempo dependemos de I = C dv / dt para un capacitor y, en el dominio de la frecuencia, dependemos de que la impedancia de un capacitor sea \ $ \ dfrac {1} {sC} \ $. >

Donde s = jw por lo tanto, Xc = \ $ \ dfrac {1} {2 \ pi F C} \ angle -90 \ $

Una persona muy sabia (ex Bell Labs y ex desarrollador de alcance de Tek) cuyos diseños recientes probablemente definen sus tarifas de datos telefónicos, dijo muy simplemente

"Las señales ocurren en el tiempo, no en la frecuencia"

Sobre esta base, he concluido que "la frecuencia es solo una forma de indicar la periodicidad de la correlación máxima".

Gracias a todos por sus respuestas esclarecedoras. Ayudó mucho! Me gustaría agregar a sus respuestas los siguientes dos grandes videos. Junto con sus respuestas, me dio una comprensión total, por lo que tal vez ayude a otros:

Arthur Mattuck MIT 1

Arthur Mattuck MIT 2

¡Gracias!