¿Cómo encontrar la respuesta del sistema dada la función de transferencia sin usar las transformadas de Laplace?

Supongo que se te permite realizar fracciones parciales, incluso si no se supone que uses \ $ \ mathscr {L} ^ {- 1} \ $. Las raíces de su denominador son \ $ p_1 = -6 + j \: 8 \ $ y \ $ p_2 = -6-j \: 8 \ $ y la raíz de la función de paso de unidad, \ $ \ frac {1} { p} \ $ es \ $ p_3 = 0 \ $. Tienes:

$$ \ begin {align *} \ frac {1} {p} \ cdot \ frac {6p + 100} {p ^ 2 + 12p + 100} & = \ frac {6p + 100} {p \ cdot \ left (p-p_1 \ right) \ cdot \ left (p-p_2 \ right)} \\\\ & = \ frac {A} {p-p_1} + \ frac {B} {p-p_2} + \ frac {C} {p-p_3} \\\\ & = \ frac {-0.5} {p-p_1} + \ frac {-0.5} {p-p_2} + \ frac {1} {p- p_3} \ end {align *} $$

Sabemos que las soluciones propuestas toman la forma de \ $ V _ {\ left (t \ right)} = A \: e ^ {\: p \: t} \ $. Así que se deduce que:

$$ \ begin {align *} V _ {\ left (t \ right)} & = A \: e ^ {\: p_1 \: t} + B \: e ^ {\: p_2 \: t} + C \: e ^ {\: p_3 \: t} \\\\ & = - \ frac {1} {2} \: e ^ {\: p_1 \: t} - \ frac {1} {2} \: e ^ {\: p_2 \ : t} + e ^ {\: p_3 \: t} \\\\ & = - \ frac {1} {2} \: e ^ {- 6 \: t} \: e ^ {8j \: t } - \ frac {1} {2} \: e ^ {- 6 \: t} \: e ^ {- 8j \: t} + 1 \\\\ & = 1- \ frac {1} {2 } \: e ^ {- 6 \: t} \ cdot \ left (\ left [\ operatorname {cos} \ left (8t \ right) + i \ operatorname {sin} \ left (8t \ right) \ right] + \ left [\ operatorname {cos} \ left (-8t \ right) + i \ operatorname {sin} \ left (-8t \ right) \ right] \ right) \\\\ & = 1- \ frac {1 } {2} \: e ^ {- 6 \: t} \ cdot \ left (\ operatorname {cos} \ left (8t \ right) + i \ operatorname {sin} \ left (8t \ right) + \ operatorname { cos} \ left (8t \ right) -i \ operatorname {sin} \ left (8t \ right) \ right \\\\ & = 1- \ frac {1} {2} \: e ^ {- 6 \: t} \ cdot \ left (\ operatorname {cos} \ left (8t \ right) + \ operatorname {cos} \ left (8t \ right) \ right) \\\\ & = 1- e ^ {- 6 \: t} \ cdot \ operatorname {cos} \ left (8t \ right) \ end {align *} $$

  

Creo que tiene algo que ver con encontrar los polos pero no estoy   exactamente seguro de cómo lograr esto.

Solo puedo decirte cómo encontrar los polos porque, si tuviera que analizar esto correctamente, usaría una tabla de transformadas de Laplace. Sin embargo, puedo proporcionar algunos detalles más al examinar la ecuación. Con suerte, mis observaciones no se basan en mi conocimiento de las transformaciones de laplace, pero no puedo descartarlas.

Encuentra los polos mirando el denominador y comparándolo con cero. Voy a usar s en lugar de p: -

\ $ s ^ 2 + 12s + 100 = 0 \ $

La solución a esa ecuación cuadrática arroja: -

s = -6 + j8 y s = -6 - j8

Fuente de la imagen

Entonces tienes dos polos en -6 en el eje horizontal y +/- 8 en el eje jw. Volviendo a su ecuación original, el "100" en el denominador representa el cuadrado de la frecuencia natural (\ $ \ omega_n \ $ en el diagrama anterior). Esto significa que el radio del círculo en ese diagrama es 10.

Entonces, su factor de amortiguación (\ $ \ zeta \ $) es 0.6 y la frecuencia amortiguada (la frecuencia de "timbre" que inducirá el paso) es 0.8 x \ $ \ omega_n \ $ = 8 rad / s.

Verificación de la cordura con un solver numérico inverso de Laplace (con la ecuación de OP multiplicada por la función de paso 1 / s): -

Gran solucionador numérico de Laplace

Si no quiere pasar por el cálculo de una transformada de Laplace inversa, primero puede reorganizar su expresión en una forma de baja entropía como lo sugieren las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACTs : factor 100 en el numerador y el denominador. Obtienes \ $ H (s) = \ frac {1+ \ frac {s} {\ omega_z}} {1+ \ frac {s} {\ omega_0Q} + (\ frac {s} {\ omega_0}) ^ 2 PS Puede ver que tiene un cero ubicado a 2.6 Hz, un factor de calidad \ $ Q \ $ de 0.833 y una frecuencia de resonancia de 1.592 Hz. La respuesta de frecuencia de dicha red es la siguiente:

Ahoraquetieneestoselementosalamano,sedacuentadequeesladescripcióndeunfiltrodepasobajodesegundoordenconuncero.Unared\$LC\$conpérdidasóhmicasyasociadaconunceroenlaformaderesistenciaenseriedecondensadoresequivalentes(ESR)esunbuenmodeloparaobtenerlarespuestatransitoriaconSPICE.ElcircuitoestáabajoconlosvalorescalculadosdelahojadeMathcad:

LafuncióndetransferenciasepuedederivarrápidamenteconlaayudadeFACTysedeterminacomo:\$H(s)=\frac{1+sr_CC_1}{1+s(r_C+r_L)C_1+s^2L_1C_1}\$

Silafuentedeentradaesunpasode1V,tienelasiguienterespuestadedominiodetiempo:

LarespuestaeneldominiodeltiempoobtenidaporMathcadylasolucióndeMonsieurjonkcorrespondientesemuestraacontinuaciónyconfirmalasimulaciónSPICE:

La clave aquí fue volver a escribir la función de transferencia de la manera correcta y obtener la información necesaria sobre dónde se ubican los polos y los ceros. Una vez que está en el formato correcto de baja entropía , es más fácil inferir cómo debería ser la respuesta en el dominio del tiempo.

Una forma de resolver esto sin utilizar la transformada laplace es volver a la ecuación diferencial que produjo esta función de transferencia.

La función de transferencia:

$$ \ dfrac {Y (s)} {r (s)} = \ dfrac {6s + 100} {s ^ 2 + 12s + 100} $$

Esto podría reescribirse como:

$$ (s ^ 2 + 12s + 100) Y (s) = (6s + 100) r (s) $$

Volver al dominio del tiempo:

$$ y '' + 12y '+ 100y = 6r' + 100r $$

Aquí, \ $ r (t) \ $ es la función de paso de unidad. La derivada de la función de paso es la función delta de dirac, por lo que la ecuación diferencial se convierte en:

$$ y '' + 12y '+ 100y = 6 \ delta (t) +100, \ text {for} t > 0 $$

Ahora tienes una ecuación diferencial, que puedes resolver fácilmente. La parte difícil aquí es la función delta dirac, pero recuerde que es cero en todas partes, pero en \ $ t = 0 \ $. Luego para \ $ t > 0 \ $:

$$ y '' + 12y '+ 100y = 100, \ text {for} t > 0 $$

Después de resolver la ecuación diferencial (soluciones homogéneas y particulares sumadas),

$$ y (t) = 1 + K_1e ^ {- 6t} \ cos (8t) + K_2e ^ {- 6t} \ sin (8t) \ tag1 $$

Y las constantes se encuentran usando las condiciones iniciales.

Aquí está el truco, tienes que de alguna manera dar cuenta del impulso (función delta del dirac), justo en t = 0 (lo hemos descartado hasta ahora). La transformada de Laplace generalmente se define desde \ $ t = 0 ^ - \ $ en orden para incluir los impulsos (como la función delta de dirac). Por lo tanto, debemos incluir este impulso si queremos obtener el mismo resultado que se obtendría con la transformada de Laplace.

Este es un problema matemático de aquí en adelante (no quiero explicar más extensamente) pero puedes leer esto y familiarízate con los detalles. Sin embargo, en general, cuando tiene una ecuación diferencial, con una función de forzado que incluye un delta de dirac, debe encontrar la solución al caso cuando \ $ t > 0 \ $ (justo lo que hicimos antes en (1 )), con las condiciones iniciales \ $ y (0) = 0 \ $, \ $ y '(0) = a / m \ $ (para este caso, \ $ a = 6 \ $ y \ $ m = 1 \ $). Esto es lo que hace que tengas un delta de dirac como parte de la función de forzado.

\ $ a \ $ es solo el coeficiente que multiplica la función delta de dirac: 6 en este problema. \ $ m \ $ es el coeficiente para el derivado de orden más alto (\ $ y '' \ $ es el orden más alto y su coeficiente es 1).

Con esas condiciones iniciales (\ $ y (0) = 0 \ $, \ $ y '(0) = 6 \ $), puede encontrar los valores de las constantes, \ $ K_1 \ $ y \ $ K_2 PS Estos resultan ser \ $ K_1 = -1 \ $ y \ $ K_2 = 0 \ $. Por lo tanto:

$$ y (t) = 1-e ^ {- 6t} \ cos (8t) $$

Es mucho más sencillo resolver este problema con la transformada de Laplace, pero aún es posible encontrar una solución utilizando el análisis del dominio del tiempo. Además, la naturaleza de la función delta de dirac es lo que hace que este problema sea un poco más complicado.