Tienes la mayor parte del camino. Siga lo que está debajo:
$$ \ begin {align *}
F & = \ overline {(C + \ overline {D})} \: \ overline {(B + D)} + \ overline {\ overline {(C + \ overline {D})}} \: \ overline {\ overline {(B + D)}} \ tag {0} \\\\
& = \ overline {C} \: D \: \ overline {B} \: \ overline {D} + (C + \ overline {D}) \: (B + D) \ tag {1} \\\ \
& = (C + \ overline {D}) \: (B + D) \ tag {2} \\\\
& = B \: C + C \: D + B \: \ overline {D} + D \: \ overline {D} \ tag {3} \\\\
& = B \: C + C \: D + B \: \ overline {D} \ tag {4} \\\\
& = B \: C \: D + B \: C \: \ overline {D} + C \: D + B \: \ overline {D} \ tag {5} \\\\
& = (B \: C + C) \: D + (B \: C + B) \: \ overline {D} \ tag {6} \\\\
& = (C \: [B + 1]) \: D + (B \: [C + 1]) \: \ overline {D} \ tag {7} \\\\
& = (C \ cdot1) \: D + (B \ cdot1) \: \ overline {D} \ tag {8} \\\\
& = C \: D + B \: \ overline {D} \ tag {9}
\ end {align *} $$
Aquí, puede ver que he expandido el término de BC en el paso 5. Esto solo está convirtiendo un caso en dos casos, lo que NO cambia el resultado. Creo que puedes ver que no, por inspección.
Luego, en el paso 6, organizo los términos sumados para poder factorizar D y No-D, para crear dos términos algo más complejos. Pero ahora, la simple inspección le dice que en el primer término (basado en D) que si C es verdad, no importa si BC es verdad y que si C es falsa, entonces también lo es B C. Así que eso puede ser reducido a solo C. La misma idea también se aplica al segundo término (basado en Not-D). He agregado los pasos 7 y 8 para mostrar esta transición.
El resultado final está en 9, ahora.