Hay varios métodos para averiguar los puntos de cruce de jw. La tabla de la boca es una de ellas. Primero construye el sistema de circuito cerrado, por lo tanto
$$
\ frac {K (1 + s)} {s ^ 4 + 3s ^ 3 + 6s ^ 2 + (K + 4) s + K}
$$
La tabla de Routh es
$$
\ begin {matrix}
s ^ 4 & & & & 1 & & & & 6 & & & & K \\
s ^ 3 & & & & 4 & & & & (K + 4) & & & & 0 \\
s ^ 2 & & & & \ frac {24- (K + 4)} {4} & & & & K & & & & 0 \\
s ^ 1 & & & & \ frac {-K ^ 2 + 80} {- K + 20} & & & & 0 & & & & 0 \\
s ^ 0 & & & & K & & & & 0 & & & & 0
\ end {matriz}
$$
La fila \ $ s ^ 1 \ $ es la única fila que puede producir una fila de ceros. De la fila anterior, obtenemos
$$
\ begin {align}
\ frac {-K ^ 2 + 80} {- K + 20} = 0 \ implica K = \ pm \ sqrt {80} \\
\ end {align}
$$
Ahora echamos un vistazo a la fila de arriba \ $ s ^ 1 \ $ y construimos el siguiente polinomio (es decir, un polinomio auxiliar), por lo tanto
$$
\ begin {align}
\ left (\ frac {24- (K + 4)} {4} \ right) s ^ 2 + K & = 0 \\
2.7639 s ^ 2 + \ sqrt {80} & = 0 \\
s_ {1,2} & = \ pm j 1.7989 \\
\ end {align}
$$
El lugar de la raíz cruza el eje imaginario a esta frecuencia \ $ \ pm j1.7989 \ $ en la ganancia \ $ K = \ sqrt {80} \ $ .
El segundo enfoque es considerar
$$
1+ \ frac {K (s + 1)} {s ^ 4 + 4s ^ 3 + 6s ^ 2 + 4s} = 0
$$
Deje que \ $ s = j \ omega \ $ , simplifique la expresión anterior, por lo tanto:
$$
(\ omega ^ 4-6 \ omega ^ 2 + K) + j (K \ omega + 4 \ omega - 4 \ omega ^ 3) = 0
$$
El lado izquierdo es un solo número complejo y para que este número complejo sea igual a cero, tenemos
$$
\ begin {align}
(\ omega ^ 4-6 \ omega ^ 2 + K) & = 0 \ implica K = 6 \ omega ^ 2- \ omega ^ 4 \\
((6 \ omega ^ 2- \ omega ^ 4) \ omega + 4 \ omega - 4 \ omega ^ 3) & = 0 \ implica - \ omega ^ 5 + 2 \ omega ^ 3 + 4 \ omega = 0 \ \
w_ {1,2,3,4,5} & = 0, \ pm 1.7989, \ pm j1.1118 \\
\ end {align}
$$
Descarta el cero y \ $ \ pm j1.1118 \ $ , terminamos con esta frecuencia \ $ \ pm 1.7989 \ $ en el que el lugar de la raíz se interseca con el eje imaginario. También podemos calcular la ganancia K, por lo tanto:
$$
\ begin {align}
K & = 6 \ omega ^ 2- \ omega ^ 4 \\
& = 6 (1.7989) ^ 2 - (1.7989) ^ 4 \\
& = 8.9443
\ end {align}
$$
