La \ $ z \ $ - transformación de la orden cero es 1. Entonces, ¿por qué debería considerarse en el análisis de tiempo discreto o en la simulación de sistemas de control de tiempo discreto?
$$ Z \ left (\ frac {1-e ^ {- sT}} s \ right) = \ frac {z} {z-1} -z ^ {- 1} \ frac {z} {z -1} = 1 $$
El ZOH TF anterior es un enlace entre dominios continuos y discretos en sistemas híbridos. Este es el mecanismo más conveniente para representar un sistema híbrido en forma de función de transferencia. Por supuesto, no existe una relación de uno a uno entre los dominios \ $ s \ $ y \ $ z \ $, por lo que es una conveniencia matemática. En la relación anterior, el término exponencial debe ser negativo (no positivo como se indica), dando un \ $ z \ $ - equivalente a \ $ 1- \ exp (-sT) \ $ as \ $ (z -1) / z \ $ para incluirse con bloques puramente discretos (filtros, etc.) y la parte \ $ 1 / s \ $ del ZOH debe incluirse con los otros bloques continuos \ $ s \ $ -. El \ $ s \ $ - TF de los elementos continuos se transforma luego en el dominio \ $ z \ $ -, dando un \ $ z \ $ - TF global.
Si a alguien le importa, es interesante hacer la transformada z del ZOH a una velocidad DIFERENTE. En otras palabras, supongamos que tiene una señal digital \ $ X_ {in} \ $ digitalizada a 50 Hz, por lo que \ $ T_1 = 0.02 \ mathrm {s} \ $, cada muestra de la señal está a 20 ms de distancia. Supongamos que tiene un programa de computadora que está funcionando con esta señal a 100 Hz (deje que \ $ T_2 = 0.01 \ mathrm {s} \ $). Lo que está sucediendo en la computadora es que su programa está muestreando una variable \ $ X_ {in} \ $ cada 10 ms y cada operación se realiza una producción \ $ X_ {out} \ $. Dado que el valor de \ $ X_ {in} \ $ simplemente mantiene su valor hasta que cambia cada 20 ms, puede considerar que se trata de un ZOH:
\ $ (1 - e ^ {- sT_1}) / s \ $
Ahora, tiene que redigitizar a la tasa \ $ 1 / T_2 \ $. El numerador simplemente se convierte en
\ $ (1-z_1 ^ {- 1}) \ $
y el numerador (a través de la transformación s-to-Z):
\ $ \ frac {1} {(1-z_2 ^ {- 1})} \ $
dando como resultado:
\ $ \ frac {(1-z_1 ^ {- 1})} {(1-z_2 ^ {- 1})} \ $
Permítame retroceder un poco y definir \ $ z_1 \ $ y \ $ z_2 \ $.
Dado que, en general, \ $ z = e ^ {- sT} \ $, defina \ $ z_1 = e ^ {- sT_1} \ $, y \ $ z_2 = e ^ {- sT_2} \ $
Observando que \ $ T_1 = 2 T_2 \ $, \ $ z_1 = e ^ {- sT_1} = e ^ {- s2T_2} = e ^ {2 (-sT_2)} = z_2 ^ 2 \ $
sustituye \ $ z_2 ^ 2 \ $ por \ $ z_1 \ $:
\ $ \ frac {1-z_1 ^ {- 1}} {1-z_2 ^ {- 1}} = \ frac {1-z_2 ^ {- 2}} {1-z_2 ^ {- 1}} = \ frac {(1-z_2 ^ {- 1}) (1 + z_2 ^ {- 1})} {1-z_2 ^ {- 1}} = 1 + z_2 ^ {- 1} \ $
Entonces, el resultado final es realmente muy intuitivo cuando piensas en ello. El programa que está muestreando \ $ X_ {in} \ $ de 50 a 100 Hz es simplemente tomar la copia original \ $ X_ {in} \ $ (la parte '1' del resultado) y agregarle una copia del la misma muestra retrasada en un paso de muestra \ $ T_2 \ $ (la parte \ $ z_2 ^ {- 1} \ $). Un ejemplo simple:
Diga \ $ X_ {in} = [1; 2; 3; 4] \ $, con un espacio de muestra de \ $ T = 20 \ mathrm {ms} \ $ Entonces \ $ X_ {in} \ $ muestreado con el ZOH se vería como
\ $ X_ {inupzoh} = [1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4] \ $ con un espaciado de muestra de \ $ T = 10 \ mathrm {ms} \ $
NOTA, que SIN EL ZOH, (digamos que \ $ X_ {en} \ $ se borró cada vez que se leyó), el ejemplo aumentado \ $ X_ {en} \ $ sería:
\ $ X_ {inup} = [1; 0; 2; 0; 3; 0; 4; 0] \ $
Ahora para la parte divertida (si te quedaste conmigo): Si tiene acceso a una herramienta (como Matlab) para hacer ffts y bode gráficos:
Haz el pie de página de \ $ X_ {in} = [1; 2; 3; 4] \ $, así como \ $ X_ {inup} \ $ y \ $ X_ {inupzoh} \ $. Puedes mirar las partes reales e imaginarias de los resultados de la prueba de conversión o convertirlos a la magnitud y la fase y ver los resultados sorprendentes.
Lo que debería ver es que el muestreo extra sin un ZOH simplemente mueve la frecuencia de Nyquist. Debe recordar que el espectro de una señal digital es periódico y infinito , lo que significa que aunque generalmente solo observamos el espectro de \ $ 0 \ $ a \ $ \ frac {T_s} {2} \ $, ese espectro en realidad se repite cada \ $ \ frac {kT_s} {2} \ $ en el eje de frecuencia. El remuestreo sin el ZOH en realidad no cambió la señal (solo insertó ceros), pero DID movió la frecuencia Nyquist. Luego puede ver que AGREGAR otra copia de la señal demorada por un punto de muestra tiene un efecto de ganancia Y fase interesante. En las frecuencias bajas, la ganancia en realidad se duplica, y la ganancia no llega a la unidad hasta que \ $ \ frac {2} {3} \ multiplicado por 50 \ mathrm {Hz} \ $ y se caiga después de eso. Este es un efecto muy real que puede causar problemas para algunos sistemas de control que son sensibles a la ganancia y / o a la fase.
El submuestreo es un poco más complicado matemáticamente ... ya he escrito demasiado ...
Lea otras preguntas en las etiquetas simulation analysis control-system transfer-function