Potencia absorbida por una resistencia en un circuito cruzado

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ElproblemadadoanteriormenteessolicitarlapotenciaabsorbidaporlaresistenciaRdadoR=1Ohm.Segúnmiprofesor,losdosinductoresnosecruzan,porloquerediseñéelcircuitoenelquesemuestraenlaimagendeabajo.Luegorediseñéelcircuitoensuphasorequivalentequetambiénsemuestraenlamismafoto.

Luego hice los siguientes pasos: 

KVL at I1:

-2 + I1(2j-j/2) - I2(2j) – I3(-j/2) = 0

(3/2)j I1 - 2j I2 + j/2 I3 = 2  (1)

KVL at I2:

I2(2j+1+-j/2) – I1(2j) – I3(1) = 0

-2jI1 + (1+(3/2)j)I2 – I3 = 0     (2)


KVL at I3:

I3(1+2j – j/2) – I1(-j/2) – I2(1) = 0

j/2 I1 – I2 + (1+(3/2)j I3) = 0  (3)


Using Cramer’s Rule to get I2 and I3:


Divisor:

[((3/2)j)(1+(3/2)j)(1+(3/2)j) + (-2j)(1)(j/2) + (j/2)(-2j)(-1)] - 

[(j/2)(1+(3/2)j)(j/2) + (-1)(-1)((3/2)j) + (1+(3/2)j)(-2j)(-2j)]

= -1/4 + 3j

Dividend for I2:

[0 + 2(-1)(j/2)+0] – [0+0+(1+(3/2)j)(-2j)(2)] = -6+3j

Dividend for I3:

[0+0+(2)(-2j)(-1)] – [(j/2)(1+(3/2)j)(2)] = 3/2 + 3j


I2 = (-6+3j )/ (-1/4 + 3j) = 168/145 +(276/145)j

I3 = (3/2 +3j) / (-1/4 + 3j) = 138/145 – (84/145) j


I2 + I3 =   [168/145 +(276/145)j] + [138/145 – (84/145) j] = 306/145 + (192/145)j

Using the Average power equation:

P(1-Ohm) =(1/2)|306/145 + (192/145)j|^2 Re{1} = 3.1 W

Sin embargo, la respuesta en el libro es 2 W. ¿En qué me equivoqué? ¿Mi circuito redibujado es correcto? Gracias.

¿Pensamientos sobre el uso del circuito equivalente de Thevenin para resolver este problema?

    
pregunta Johnny

1 respuesta

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Los inductores están cruzados.

El circuito también es simétrico, de modo que el voltaje a través del capacitor superior es opuesto al voltaje del capacitor inferior. Una regla similar se aplica a la corriente del inductor. Vamos a explotar la simetría.

Resultado: la potencia disipada de rms en la resistencia es de hecho 2 W.

KCL:

\ $ i_3 = i_1 + i_2 \ $

KVL1: (alrededor de la fuente de voltaje, los dos condensadores y la resistencia)

\ $ V = 2Z_1i_1 + i_3R = 2Z_1i_1 + Ri_1 + Ri_2 \ $

KVL2: (alrededor de la fuente de voltaje, L2 y C2)

\ $ V = -Z_2i_2 + i_1Z_1 \ $

Solución:

\ $ R = 1 \ Omega, V = 2V, Z1 = 1 / (\ omega Cj) = -0.5j, Z2 = \ omega Lj = 2j \ $

\ $ i_1 = (V + VR / Z_2) / (2Z_1 + R + RZ_1 / Z_2) \ $

\ $ i_2 = (i_1Z_1-V) / Z_2 \ $

\ $ i_1 = 1.6 + 0.8j \ $

\ $ i_2 = -0.4 + 0.8j \ $

\ $ i_3 = 1.2 + 1.6j \ $

El valor absoluto del fasor actual del resistor es 2 A. Entonces, rms es \ $ \ sqrt 2A \ $ y la disipación de potencia \ $ P = Ri_3 ^ 2 = 1 \ Omega * (\ sqrt2A) ^ 2 = 2W \ $

Note que debido a la simetría del valor del condensador / resistencia, la potencia disipada es independiente de la frecuencia de excitación.

Esquema (Z1 son los condensadores, Z2 son los inductores):

Resultados:

  

¿Pensamientos sobre el uso del circuito equivalente de Thevenin para resolver este problema?

No estoy seguro de lo que Thevenin le dará aquí: ¡el circuito se puede resolver utilizando dos KVL! Además, las impedancias dependen de la frecuencia y los teoremas de Thevenin / Norton se utilizan normalmente para fuentes de tensión / corriente CC y redes resistivas.

Por cierto. ¡Gracias por esta interesante pregunta! Me divertí resolviéndolo :).

    
respondido por el SunnyBoyNY

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