Estoy un poco confundido acerca de cómo medir el período de oscilación de un sistema casi estable cuando se usa el método de Ziegler-Nichols para obtener la configuración PID correcta. El factor del período de oscilación se usa en la regla para los términos I y D, pero ¿en qué unidad? segundos, milisegundos, minutos? ¿Tiene algo que ver con el tiempo de muestreo de mi controlador PID digital?
Pcr se usa aquí para describir el período crítico (en la configuración de ganancia crítica Kcr )
La figura a continuación muestra los pasos para encontrar \ $ K_ {cr} \ $ (o \ $ K_u \ $) y \ $ P_ {cr} \ $ (o \ $ P_u) \ $, cambiando solo la ganancia proporcional (con \ $ T_d = 0 \ $ y \ $ T_i = \ infty \ $) - un ejemplo para control de temperatura:
La unidad de tiempo que se utilizará debe ser coherente con su curva de respuesta. La relación con el período de muestra \ $ \ Delta t \ $ se puede obtener, después de la discretización del controlador PID. Utilizando el formulario estándar , en contraste con otras implementaciones (por ejemplo, cuando el término derivado se toma de la salida):
$$ u (t) = K_pe (t) + \ frac {K_p} {T_i} \ int_0 ^ t {e (\ tau) d \ tau + K_pT_d \ frac {de (t)} {dt}} $$
Tomando el derivado de \ $ u (t) \ $: $$ u '(t) = K_pe' (t) + \ frac {K_p} {T_i} e (t) + K_pT_de '' (t) $$ Un posible enfoque: para aproximar la primera y la segunda derivadas usando diferencias finitas (por ejemplo, hacia atrás), donde \ $ k \ $ es el ID de muestra: $$ x '(t) \ approx \ frac {x_k-x_ {k-1}} {\ Delta t} $$ $$ x '' (t) \ approx \ frac {x_k-2x_ {k-1} + x_ {k-2}} {\ Delta t ^ 2} $$ Por lo tanto, el controlador PID discreto toma la forma ( algoritmo de velocidad ): $$ u_k = u_ {k-1} + K_p [(1+ \ frac {\ Delta t} {T_i} + \ frac {T_d} {\ Delta t}) e_k + (- 1- \ frac {2T_d} {\ Delta t}) e_ {k-1} + \ frac {T_d} {\ Delta t} e_ {k-2}] $$
Las definiciones alternativas pueden incluir \ $ K_i = \ frac {K_p} {T_i} \ $ y \ $ K_d = K_pT_d \ $. Además, el término derivado puede modificarse para reducir los problemas con el ruido de alta frecuencia, por ejemplo, un filtro de paso bajo. También existen otros métodos de discretización, como Tustin, ZOH.
EXPLICACIÓN ADICIONAL:
Establezca \ $ K_p \ $ en algún valor bajo (con \ $ T_i = \ infty \ $ y \ $ T_d = 0 \ $ en esta etapa). Así, la ecuación anterior se simplifica a: $$ u_k = u_ {k-1} + K_p (e_k-e_ {k-1}) $$
Implemente la ecuación anterior (un controlador P) en su sistema digital junto con la \ $ \ Delta t \ $ adecuada, probando \ $ K_p \ $ para ver si causa una oscilación continua (ligeramente estable). Si las oscilaciones decaen, siga aumentando \ $ K_p \ $. Si las oscilaciones aumentan en amplitud (sistema inestable), reduzca \ $ K_p \ $. Haga esto hasta que el sistema sea marginalmente estable. Cuando llegue a este punto, ha encontrado el período de oscilación \ $ K_ {cr} = K_p \ $ y \ $ P_ {cr} = \ $ (consulte la figura anterior).
Usando la tabla que ha proporcionado (también arriba), determine los valores de \ $ K_p \ $, \ $ T_i \ $ y \ $ T_d \ $ de los valores de \ $ K_ {cr} \ $ y \ $ P_ {cr} \ $ ones.
Implemente el controlador PID completo: $$ u_k = u_ {k-1} + K_p [(1+ \ frac {\ Delta t} {T_i} + \ frac {T_d} {\ Delta t}) e_k + (- 1- \ frac {2T_d} {\ Delta t}) e_ {k-1} + \ frac {T_d} {\ Delta t} e_ {k-2}] $$
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