Descomposición fraccionada parcial de la transformada de Laplace

  

¿Por qué \ $ H (jω_0) \ $ se asigna a la fracción con \ $ s − jω_0 \ $, no debería ser una constante arbitraria para todas las fracciones?

Puede asignar una constante arbitraria a la fracción con \ $ s − jω_0 \ $. Pero obtendrá \ $ H (j \ omega_0) \ $ después de evaluarlo.

Pruebas

Si Y (s) se puede descomponer usando la fracción parcial de la siguiente manera,

\ begin {equation} Y (s) = \ dfrac {A_1} {s-p_1} + \ dfrac {A_2} {s-p_2} + \ cdots + \ dfrac {A_N} {s-p_N} \ end {ecuación}

luego por el método de residuos, \ $ i ^ {th} \ $ coefficient (\ $ i < n \ $), el coeficiente de \ $ \ dfrac {1} {s-p_i} \ $ en forma de fracción parcial descompuesta Se puede calcular como:

$$ A_i = \ left [Y (s) \ times (s-p_i) \ right] _ {s = p_i} $$

Por lo tanto, el coeficiente de \ $ \ dfrac {1} {s-j \ omega_0} \ $ en su problema será:

$$ = \ left [H (s). \ frac {1} {s-j \ omega_0} \ times (s-j \ omega_0) \ right] _ {s = j \ omega_0} = H (j \ omega_0) $$

PS: vea un ejemplo utilizando método de residuos . Mira esto también .

Escribirlo en su totalidad, para el caso general, es tedioso y soy perezoso, así que solo como ilustración, consideremos una forma simple de \ $ H (s) \ $, (y vamos a \ $ jw_0 = jw \ $ para ahorrar tinta):

Sea \ $ H (s) = 1 / (sp) \ $, luego \ $ Y (s) = 1 / (sp) (s-jw) = A / (sp) + B / (s-jw ) \ $ para la expansión de fracción parcial.

Resolviendo para A y B:

\ $ 1 = A (s-jw) + B (s-p) \ $

deja \ $ s = jw \ $, luego \ $ B = 1 / (jw-p) \ $

deje \ $ s = p \ $, luego \ $ A = 1 / (p-jw) \ $

Por lo tanto

$$ Y (s) = \ frac {A} {(s-p)} + \ frac {1} {(jw-p) (s-jw)} $$

y vemos que el coeff. de \ $ 1 / (s-jw) \ $ is

\ $ 1 / (jw-p) = H (jw) \ $, por lo tanto

$$ Y (s) = \ frac {A} {(s-p)} + \ frac {H (jw)} {(s-jw)} $$