Búsqueda de la función de transferencia de un circuito compensador similar a una topología de compensador tipo 2

Una contribución: utilizando el teorema de Thevenin, es posible transformar el circuito en uno más simple:

Usando el principio de superposición, la salida \ $ V_ {out} \ $ es:

$$ V_ {out} = \ left [1 + \ frac {Z_f (R_1 + R_0)} {R_0R_1 + R_0R_3 + R_1R_3} \ right] V_ {ref} - \ frac {Z_fR_0} {R_0R_1 + R_0R_3 + R_1R_3} V_ {in} $$

No puede obtener una función de transferencia en forma cerrada relacionada con \ $ V_ {out} \ $ y \ $ V_ {in} \ $. Esta situación es similar a lo que sucede en los sistemas de control, cuando la planta tiene dos entradas: Referencia y perturbación. En ese caso, se puede utilizar el principio de superposición, dando como resultado dos funciones de transferencia separadas: una que relaciona la salida con la entrada de referencia y la otra que relaciona la salida con la entrada de perturbación.

Sin embargo, suponiendo que \ $ V_ {ref} \ $ es constante, se puede obtener una función de transferencia relacionada con la entrada con la salida, considerando la relación entre las variaciones de estas cantidades (relación lineal):

$$ \ frac {\ Delta V_ {out}} {\ Delta V_ {in}} = G_1 $$

donde:

$$ G_1 = - \ frac {Z_fR_0} {R_0R_1 + R_0R_3 + R_1R_3} $$

Este circuito representa un compensador de tipo 2, con un cero y un polo de origen. Puedo obtener su función de transferencia de CA usando Thévenin como se detalla anteriormente:

\ $ R_ {th} = R_0 || R_1 \ $

\ $ Z_1 (s) = (R_2 + \ frac {1} {sC_2}) || (\ frac {1} {sC_1}) \ $

\ $ G (s) = - \ frac {R_0} {R_0 + R_1} \ frac {Z_1 (s)} {R_ {th} + R_3} \ $

Si desarrolla, obtendrá una expresión de alta entropía moderadamente complicada: no verá dónde se ubican la ganancia, los polos y los ceros, y trata de expresar el resultado de forma clara y La forma ordenada requerirá un poco de energía extra. Sin embargo, nada insuperable aquí. Si haces bien los cálculos y los reorganizas, deberías obtener

\ $ G (s) = - \ frac {R_0} {C_1 + C_2} \ frac {1 + sR_2C_2} {s (R_0 (R_1 + R_3) + R_1R_3) (1 + sR_2 \ frac {C_1C_2} { C_1 + C_2})} \ $

También podemos determinar esta función de transferencia utilizando Técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACT, especialmente si queremos considerar una ganancia de bucle abierto no infinita que llamo \ $ A_ {OL} \ $. Empiezo calculando la función de transferencia de dc para \ $ s = 0 \ $, lo que significa que abro todos los condensadores:

\ $ G_0 = -A_ {OL} \ frac {R_0} {R_1 + R_0} \ $

Luego, determinaré la resistencia "vista" del condensador \ $ C_1 \ $ mientras que \ $ C_2 \ $ está abierta (eso me dará \ $ \ tau_1 \ $) y la resistencia "vista" del condensador \ $ C_2 \ $ mientras que \ $ C_1 \ $ está abierto (eso me dará \ $ \ tau_2 \ $). Puedo determinar estas resistencias instalando una fuente actual \ $ I_T \ $ sobre los terminales de conexión de \ $ C_1 \ $ y determinar el voltaje \ $ V_T \ $ en la fuente actual. La proporción de \ $ V_T \ $ sobre \ $ I_T \ $ me dará la resistencia que necesito. Si hago eso correctamente, debería encontrar:

\ $ \ tau_1 = C_1 ((R_3 + R_1 || R_0) (1 + A_ {OL}) \ $

\ $ \ tau_2 = C_2 ((R_3 + R_1 || R_0) (1 + A_ {OL}) + R_2) \ $

Al agregar estas dos constantes de tiempo, se obtiene \ $ b_1 = \ tau_1 + \ tau_2 \ $

Ahora determinaré la resistencia "vista" del condensador \ $ C_2 \ $ cuando \ $ C_1 \ $ se coloque en su estado de alta frecuencia (un cortocircuito). Esta resistencia es simplemente \ $ R_2 \ $. El coeficiente de segundo orden se determina entonces mediante

\ $ b_2 = \ tau_1 \ tau_ {12} = C_1 ((R_3 + R_1 || R_0) (1 + A_ {OL}) R_2C_2 \ $

El denominador \ $ D (s) \ $ es entonces igual a \ $ D (s) = 1 + sb_1 + s ^ 2b_2 \ $. El numerador se encuentra inmediatamente por inspección: ¿qué condición en el circuito transformado (en el cual los topes son reemplazados por sus definiciones de impedancia) evitaría que la excitación produjera una respuesta? De lo contrario, cuando \ $ V_ {in} \ $ se ajusta a la frecuencia cero, ¿qué condición puede producir una salida nula \ $ V_ {out} = 0 \; V \ $? Si la rama hecha de \ $ C_2 \ $ y \ $ R_2 \ $ es un cortocircuito transformado. En otras palabras, la raíz de la impedancia de esta serie es \ $ s_z = - \ frac {1} {R_2C_2} \ $. Esto es, tenemos nuestra función de transferencia que incluye el impacto de la ganancia de bucle abierto del amplificador operacional igual a:

\ $ G (s) = G_0 \ frac {1+ \ frac {s} {\ omega_z}} {1 + b_1s + b_2s ^ 2} \ $

Si ahora considero la baja - \ $ Q \ $ aproximación (\ $ Q < < 1 \ $), la forma polinomial de segundo orden se puede reemplazar por dos polos en cascada ubicados en \ $ 1 / b_1 \ $ y \ $ b_1 / b_2 \ $. Si desarrolla todo, reorganice y considere \ $ A_ {OL} \ $ que se aproxima al infinito, entonces debe encontrar la siguiente forma agradable de baja entropía :

\ $ G (s) = G_0 \ frac {1+ \ frac {\ omega_z} {s}} {1+ \ frac {s} {\ omega_p}} \ $

en el que:

\ $ G_0 = - \ frac {R_0} {R_0 + R_1} \ frac {R_2C_2} {(C_1 + C_2) (R_3 + R_1 || R_0)} \ $ \ $ \ omega_z = \ frac {1} {R_2C_2} \ $ \ $ \ omega_p = \ frac {C_1 + C_2} {C_1C_2R_2} \ $

Esta es verdaderamente una forma de baja entropía con un cero invertido en el numerador.

La respuesta dinámica de este circuito se muestra a continuación

Comopuedever,tenemosunexcelenteacuerdoentrelasexpresiones.

LosFACTssonrealmenteimbatiblesentérminosdevelocidaddeejecución.Obtienesunformatodebajaentropíamuyrápidamente(unformatoenelquevesganancias,polosycerosinmediatamente).Siestáinteresado,ylosalientoatodosaadquirirestahabilidad,echeunvistazoa

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Además, no descuide la ganancia del bucle del amplificador operacional y sus polos internos cuando dispare una alta frecuencia de cruce. Echa un vistazo a este documento publicado en enlace recientemente, tienes más detalles que aquí:

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