Encontré la siguiente declaración en un libro de texto:
El voltaje en un capacitor no puede cambiar abruptamente. Según
$$ i (t) = C \ frac {dV} {dt} $$
un cambio discontinuo en el voltaje requiere una corriente infinita, lo cual es físicamente imposible.
¿Cómo demuestra esta relación que un cambio discontinuo en el voltaje requiere una corriente infinita?
¿Cómo demuestra esta relación que un cambio discontinuo en voltaje requiere una corriente infinita?
Primero, observe que la ecuación dada en su pregunta define un capacitor ideal (no físico) y por lo tanto este es el contexto de mi respuesta.
Segundo, tenga en cuenta que si el voltaje del capacitor es discontinuo en algún momento (s) de tiempo, la derivada del tiempo del voltaje no existe .
Sin embargo, uno puede aproximar una discontinuidad, por ejemplo, permitiendo que el voltaje cambie linealmente con el tiempo en un corto intervalo. Por ejemplo, deje que el voltaje del capacitor cambie linealmente de \ $ 0 \ mathrm V \ $ a \ $ 1 \ mathrm V \ $ in \ $ \ Delta t \ $ seconds.
Luego, de acuerdo con la ecuación del capacitor ideal, la corriente del capacitor durante la transición es
$$ i (t) = C \ frac {1 \ mathrm V} {\ Delta t} $$
En el límite como \ $ \ Delta t \ rightarrow 0 \ $, la tensión del capacitor se vuelve discontinua (cambio finito en el tiempo cero) y la corriente del capacitor llega a un pulso infinito, infinitamente corto; un actual impulso .
Pero esto es académico, ya que los capacitores físicos obedecen la ecuación ideal del capacitor solo aproximadamente y en una región de operación relativamente estrecha.
Solo obtendrás una corriente infinita si tienes una fuente de voltaje perfecta y los cables tienen una inductancia cero. otras dos cosas que también son físicamente imposibles.
La relación Q = CV (la carga en el capacitor equivale a los tiempos de capacitancia del voltaje), conduce al razonamiento de que un cambio de paso en el voltaje causaría un cambio de paso en la carga, por lo tanto una corriente infinita.
Los dispositivos del mundo real solo se aproximan al ideal descrito por esa relación, generalmente también tienen resistencia interna e inductancia que reduce la corriente a algo finito.
Aún así, una corriente "aproximadamente infinita" puede hacer daño real en circuitos diseñados descuidadamente. Anteriormente, hoy alguien preguntaba acerca de los rectificadores fallidos en un circuito que tenía mucha más capacidad de la que era razonable.
Puedes hacer una explicación racional bastante simple sin llevar el cálculo a la misma ecuación de condensador (relacionada):
$$ Q = C \ times V $$
o
$$ V = \ frac {Q} {C} $$
El voltaje del condensador es un resultado de la carga, no la causa de la carga. Para cambiar el voltaje en el condensador, debe agregar o quitar la carga ... que es físicamente una corriente.
La corriente infinita podría imaginarse como una carga que surge en el condensador, pero cualquier corriente real se manifestaría como portadores de carga que viajan al condensador. Los portadores de carga comenzarán a afectar el voltaje en el capacitor a medida que se aproximan, y esto causará un cambio no instantáneo en el voltaje, sin importar qué tan rápido (por debajo de la velocidad infinita) estén viajando los portadores de carga.
Parafraseando a Feynman, 'La naturaleza es lo que estamos estudiando. La matemática simplemente describe la forma en que la naturaleza ya funciona. '
Muchas respuestas buenas, pero realmente no responden la pregunta. $$ i (t) = C \ frac {dv} {dt} (t) = C v '(t), $$ o usando la notación de puntos $$ i = C \ dot {v}. $$
"El voltaje en un capacitor no puede cambiar bruscamente. Según ... un cambio discontinuo en el voltaje requiere una corriente infinita, lo cual es físicamente imposible".
La tasa de cambio de voltaje (es decir, voltios por segundo) es directamente proporcional a la corriente; $$ \ dot {v} = \ frac {1} {C} \ cdot i, $$ así que si la corriente salta, entonces la tasa de cambio salta.
¿Cómo demuestra esta relación que un cambio discontinuo en el voltaje requiere una corriente infinita?
Matemáticamente, este es en realidad un tema profundo y muy involucrado que involucra el axioma de Newton-Leibniz siguiendo el Teorema Fundamental del Cálculo. Esencialmente, nos dice que siempre que \ $ v '(t) \ $ sea Riemann integrable, entonces $$ \ int_a ^ b v '(t) dt = v (b) - v (a), $$ y también que la función. $$ v (t) = \ int_a ^ t v '(\ tau) \, d \ tau $$ es continuo.
Desde $$ v (t) = \ int_0 ^ t v '(\ tau) \, d \ tau = \ frac {1} {C} \ int_0 ^ t i (\ tau) \, d \ tau, $$ vemos que la tensión debe ser continua si la corriente es de Riemann integrable. Las señales físicas (reales) son ciertamente integrables de Riemann, por lo que concluimos que \ $ v (t) \ $ debe ser continuo. Nota: Si se asume que \ $ i (t) \ $ es un poco continuo, entonces hay una conclusión aún más sólida; ese \ $ v (t) \ $ es absolutamente continuo .
Un cambio discontinuo en el voltaje requiere que el voltaje cambie en ningún momento. (Dibuje un salto en el voltaje; parecerá que hay una pendiente de infinito entre los dos puntos). Eso significa que \ $ \ frac {dV} {dt} \ $ en ese momento es infinito, por lo que su ecuación le dice que Se requiere una corriente infinita.