Relación y diferencia entre las transformadas de Fourier, Laplace y Z

Las transformadas de Laplace y de Fourier son transformaciones continuas (integrales) de funciones continuas.

La transformada de Laplace asigna una función \ $ f (t) \ $ a una función \ $ F (s) \ $ de la variable compleja s , donde \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $.

Dado que la derivada \ $ \ dot f (t) = \ frac {df (t)} {dt} \ $ se asigna a \ $ sF (s) \ $, la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal es una algebraica ecuación. Por lo tanto, la transformada de Laplace es útil para, entre otras cosas, resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Si establecemos la parte real de la variable compleja s en cero, \ $ \ sigma = 0 \ $, el resultado es la transformada de Fourier \ $ F (j \ omega) \ $, que es esencialmente la representación del dominio de frecuencia de \ $ f (t) \ $ (tenga en cuenta que esto es cierto solo si para ese valor de \ $ \ sigma \ $ la fórmula para obtener la transformada de Laplace de \ $ f (t) \ $ existe, es decir, no va al infinito).

La transformada Z es esencialmente una versión discreta de la transformada de Laplace y, por lo tanto, puede ser útil para resolver las ecuaciones de diferencia , la versión discreta de las ecuaciones de diferencial . La transformada Z asigna una secuencia \ $ f [n] \ $ a una función continua \ $ F (z) \ $ de la variable compleja \ $ z = re ^ {j \ Omega} \ $.

Si configuramos la magnitud de z en la unidad, \ $ r = 1 \ $, el resultado es la Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) \ $ F (j \ Omega) \ $, que es esencialmente la representación en el dominio de frecuencia de \ $ f [n] \ $.

Las transformadas de Laplace pueden considerarse un superconjunto para CTFT. Verá, en una ROC si las raíces de la función de transferencia se encuentran en el eje imaginario, es decir, para s = σ + jω, σ = 0, como se mencionó en comentarios anteriores, el problema de las transformadas de Laplace se reduce a la Transformada de Fourier de Tiempo Continuo. Para retroceder un poco, sería bueno saber por qué las transformaciones de Laplace evolucionaron en primer lugar cuando tuvimos Transformadas de Fourier. Verá, la convergencia de la función (señal) es una condición obligatoria para que exista una Transformada de Fourier (absolutamente sumable), pero también hay señales en el mundo físico donde no es posible tener tales señales convergentes. Pero como es necesario analizarlos, los convertimos, multiplicando una e exponencial exponencialmente decreciente monótonamente, lo que los hace converger por su propia naturaleza. Este nuevo σ + jω recibe un nuevo nombre 's', que a menudo sustituimos como 'jω' para la respuesta de señales sinusoidales de los sistemas LTI causales. En el plano s, si la ROC de una transformada de Laplace cubre el eje imaginario, entonces siempre existirá la transformada de Fourier, ya que la señal convergirá. Son estas señales en el eje imaginario las que comprenden señales periódicas e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (por Euler).

De la misma manera, z-transform es una extensión de DTFT para, primero, hacer que converjan, segundo, para hacer nuestras vidas mucho más fáciles. Es fácil lidiar con una z que con una e ^ jω (configurando r, radio del círculo ROC como untiy).

Además, es más probable que use una Transformada de Fourier que busque señales que no sean causales, ya que las transformaciones de Laplace hacen que las vidas sean mucho más fáciles cuando se usan como transformaciones unilaterales (de un solo lado). También puede usarlos en ambos lados, el resultado resultará ser el mismo con algunas variaciones matemáticas.

Las transformadas de Fourier son para convertir / representar una función que varía en el tiempo en el dominio de la frecuencia.

Una transformación laplace es para convertir / representar una función que varía en el tiempo en el "dominio integral"

Las transformaciones Z son muy similares a laplace pero son conversiones discretas de intervalos de tiempo, más cercanas a las implementaciones digitales.

Todos parecen iguales porque los métodos utilizados para convertir son muy similares.

Intentaré explicar la diferencia entre Laplace y la transformación de Fourier con un ejemplo basado en circuitos eléctricos. Entonces, supongamos que tenemos un sistema que se describe con una ecuación diferencial conocida, digamos, por ejemplo, que tenemos un circuito RLC común. También asuma que se usa un interruptor común para encender o apagar el circuito. Ahora, si queremos estudiar el circuito en el estado estacionario sinusoidal, tenemos que usar la transformada de Fourier. De lo contrario, si nuestro análisis incluye el interruptor ON o el circuito OFF, debemos implementar la transformación de Laplace para las ecuaciones diferenciales.

En otras palabras, la transformación de Laplace se utiliza para estudiar la evolución transitoria de la respuesta del sistema desde el estado inicial al estado estacionario sinusoide final. Incluye no solo el fenómeno transitorio del estado inicial del sistema, sino también el estado estacionario sinusoidal final.

Diferentes herramientas para diferentes trabajos. Al final del siglo XVI, los astrónomos empezaban a hacer cálculos desagradables. Los logaritmos se calcularon primero para transformar la multiplicación y la división en sumas y restas más fáciles. Del mismo modo, las transformaciones de Laplace y Z convierten las ecuaciones diferenciales desagradables en ecuaciones algebraicas que tiene la posibilidad de resolver. Las series de Fourier se inventaron originalmente para resolver el flujo de calor en ladrillos y otras ecuaciones diferenciales parciales. La aplicación a cuerdas vibrantes, tubos de órganos y análisis de series de tiempo llegó más tarde.

En cualquier sistema LTI para calcular la función de transferencia, solo usamos la transformada laplace en lugar de transformada de fourier o z, porque en fourier obtenemos la salida acotada, no llega al infinito. Y la transformada z se usa para señales discretas, pero los sistemas LTI son señales continuas, por lo que no podemos usar la transformada z. Por lo tanto, utilizando la transformada de laplace podemos calcular la función de transferencia de cualquier sistema LTI.