¿Por qué estos valores de transformación de Fourier no son los esperados?

Navega tus respuestas
3

Nos están enseñando Transformada de Fourier en nuestro curso de EE este semestre y tengo varias preguntas al respecto. Las respuestas no tienen que ser rigurosas y matemáticas, todo lo que necesito es un "sentimiento" intuitivo de la Transformada de Fourier. Puede que esté completamente equivocado en ciertos puntos, así que no dude en señalarlo.

  1. ¿Es el FT de una función continua \ $ x (t) \ $ aproximadamente igual a la DFT de la versión de tiempo discreto de la misma función?
    En otras palabras, si
    • \ $ X (\ omega) \ $ si el FT de \ $ x (t) \ $
    • \ $ T \ $ es una matriz que contiene valores de tiempo muy espaciados (por ejemplo, [-10: 0.001: 10])
    • \ $ y \ $ es una matriz que contiene \ $ x (t) \ $ \ $ \ forall \ $ \ $ t \ in T \ $
    • \ $ Y \ $ es una matriz que contiene el DFT de y
    • \ $ Y '\ $ contiene valores de \ $ X (\ omega) \ $ para el correspondiente \ $ \ omega \ $
      Entonces es \ $ Y \ approx Y '\ $

  2. Alguien puede explicar el resultado del siguiente código 

    t = [-10:0.001:10]
x = sin(t)
y = fft(x)
z = abs(real(y))

    Esperaba que z fuera un conjunto de números reales que contenían un pico agudo, ya que el FT de una función proporciona el espectro de frecuencias contenido en la representación de la función de la serie de Fourier. Pero resultó que el máximo era 4.32 y que la media de todos los valores de la matriz era 0.55 , que no parece ser lo que esperaba.
    ¿Hay algo malo en la forma en que estoy interpretando la transformada de Fourier? ¿Cómo debo proceder si necesito calcular el espectro de frecuencias de esta función?

pregunta Lakshay Garg

3 respuestas

2

  1. Intuitivamente, la DFT y FT son similares. Como señaló el otro póster, la principal diferencia es que el muestreo en el dominio de tiempo es equivalente a la repetición en el dominio de Frecuencia, por lo que la DFT tendrá espectros repetidos en múltiplos de la frecuencia de muestreo.

  2. Dos problemas aquí.

    i) abs (real (y)) está siendo utilizado incorrectamente. Necesita el valor absoluto (o la magnitud) de los componentes imaginarios y reales ... abs (y).

    ii) Está viendo el efecto de la fuga espectral porque la DFT asume una señal repetitiva; es decir, las matemáticas "asumen" que la señal que aplicó se repite infinitamente. Su señal tendrá discontinuidades en este caso.

Prueba el siguiente código: 

t = [-10*pi:pi/10:9.9*pi]
x = sin(t)
y = fft(x)
z = abs(y)

Deberías ver esto:

    
respondido por el akellyirl
1

  1. Estás un poco confundido aquí. En realidad es bastante simple de recordar. Si realiza una muestra en el dominio de tiempo, el D (iscreto) FT que obtenga será una repetición periódica del FT de la función original. Por el contrario, si tiene una repetición periódica de la señal en el dominio del tiempo, la Serie de Fourier será una muestra del FT de la señal original. Aún mejor, existe una relación exacta entre la frecuencia de muestreo en un dominio y el período en el otro dominio.
    $$ \ mathcal {F} \ left [\ sum \ limits_k {x (kT)} \ right] = \ sum \ limits_n {X \ left (f + \ dfrac {n} {T} \ right)} $$ y viceversa.
    DFT (como Digital) es un poco diferente, ya que es una aproximación Discreta del FT de una señal discreta.

  2. Una cosa es que estás haciendo FFT (básicamente DFT, ver más arriba) y, por lo tanto, aproximas la transformación "real" de Fourier de tu señal. Para obtener un pico perfecto, tendría que calcular la serie de Fourier de una señal sinusoidal continua, perfectamente periódica (por lo tanto, teórica). No puedo hacerlo computacionalmente, me temo, pero quizás Mathematica tenga alguna forma analítica de operar con tales cosas.

respondido por el clabacchio
1

El FT de una función continua x (t) es aproximadamente "igual" a la DFT de la versión de tiempo discreto de la misma función, si el intervalo de muestra es lo suficientemente largo (en comparación con el período de la función de dominio), y la frecuencia de muestreo es lo suficientemente rápida.

Si, como en su ejemplo, el intervalo de muestra no es lo suficientemente largo (10 es solo un poco más de 3 períodos de su función de dominio), entonces la DFT no será "igual" al FT.

El resultado de su ejemplo refleja el hecho de que su DFT está describiendo una señal que, fuera de los puntos de muestra, es diferente de la señal que describe su FT. Si le da a su DFT una señal que, fuera de los puntos de muestra, es exactamente la misma que la señal que describe el FT, debe obtener la "misma" respuesta.

Una señal de dominio DFT que es aproximadamente igual a una señal de dominio FT tiene las características: (1) un período de muestra que coincide con el período de señal, o es mucho más grande que el período de señal, Y, (2) tiene un frecuencia de muestreo que coincide con el período de la señal, o es mucho más rápida que el período de la señal.

"igual" e "igual" porque son transformaciones diferentes y, en teoría, significan cosas diferentes, pero darán resultados aritméticamente iguales si se escalan correctamente.

Alternativamente, "igual" e "igual" porque ya son "igual e igual" pero dan resultados aritméticamente diferentes porque son diferentes en teoría.

Si entiendes, el hecho de que tengas valores aritméticamente diferentes no es importante: las transformaciones son solo formas alternativas de ver los mismos datos. Si no entiende, entonces puede usar suficientes puntos para no tener que entender. Los EE deben entender: un ingeniero puede hacer con 64 puntos lo que cualquier tonto puede hacer con 640 puntos. Juegue con diferentes intervalos y tasas de muestra para tener una idea de cómo un DFT representa una señal.

    
respondido por el david

Lea otras preguntas en las etiquetas

Interruptores NFET bidireccionales de lado alto: ¿drenajes o fuentes conectadas entre sí? Forma general de una función de transferencia