¿Por qué Q no debe exceder 1/2 en un filtro de 2 etapas?

Primero, asumo que hay un amplificador de búfer entre dos redes RC de paso bajo para que las dos no interactúen. En ese caso, la función de transferencia general es simplemente el producto de las dos funciones de transferencia de LPF de primer orden:

$$ \ frac {V_o} {V_i} = \ frac {1} {1 + sR_1C_1} \ frac {1} {1 + sR_2C_2} = \ frac {1} {1 + s \ left (R_1C_1 + R_2C_2 \ right) + s ^ 2R_1C_1R_2C_2} $$

El formulario estándar para una función de transferencia LPF de segundo orden es

$$ H (s) = \ frac {1} {1 + \ frac {1} {Q} \ frac {s} {s_0} + \ frac {s ^ 2} {s ^ 2_0}} $$

Ahora podemos identificarnos

$$ s_0 = \ frac {1} {\ sqrt {R_1C_1R_2C_2}} $$

$$ Q = \ frac {\ sqrt {R_1C_1R_2C_2}} {R_1C_1 + R_2C_2} $$

que tiene un valor máximo de \ $ \ frac {1} {2} \ $ cuando \ $ R_1C_1 = R_2C_2 \ $

A un nivel más profundo, podemos escribir el producto de dos funciones de transferencia de LPF de primer orden de la siguiente manera:

$$ H (s) = \ frac {1} {1 + \ frac {s} {s_1}} \ frac {1} {1 + \ frac {s} {s_2}} = \ frac {1} {1 + s \ left (\ frac {1} {s_1} + \ frac {1} {s_2} \ right) + \ frac {s ^ 2} {s_1s_2}} $$

por lo tanto

$$ s_0 = \ sqrt {s_1s_2} $$

y

$$ Q = \ frac {\ sqrt {s_1s_2}} {s_1 + s_2} $$

Si \ $ s_1 \ $ y \ $ s_2 \ $ son reales, entonces \ $ Q \ le \ frac {1} {2} \ $. Sin embargo , si \ $ s_1 = s_0 \ $ y \ $ s_2 = s ^ * _ 0 \ $ son complejos conjugados entonces

$$ Q = \ frac {| s_0 |} {2 \ Re (s_0)} $$

que puede ser mayor que \ $ \ frac {1} {2} \ $

Sin profundizar en la teoría de sistemas, la explicación más simple es que para valores de Q mayores a 0.5 necesitamos un efecto resonante (imposible solo con R y C) o un amplificador con retroalimentación positiva dependiente de la frecuencia. En ambos casos, se crean polos complejos, lo que NO es posible utilizando solo circuitos RC pasivos.

Como otra respuesta, debemos recordar que el factor de calidad Q de un filtro es idéntico a la "calidad de polo" del correspondiente par de polos complejos con Q = Qp = 1 / 2cos (phi) . Aquí, el ángulo phi se define entre el eje real negativo del plano s complejo y el vector al polo. Debido a que los circuitos RC pasivos solo pueden producir polos reales, el ángulo phi es cero y la ecuación anterior se reduce a Q=Qp=1/2cos(0)=0.5.