Transformada de Laplace y la idea del análisis del dominio de la frecuencia

La aplicación de una entrada sinusoidal a, por ejemplo, un sistema estable, SISO, LTI producirá una salida con un componente transitorio y un componente de estado estable. El transitorio hace lo que hacen todos los transitorios: se reduce a cero después de un cierto tiempo. El componente de estado estable es una onda sinusoidal a la misma frecuencia que la sinusoide de entrada pero, generalmente, con una amplitud diferente y también un cambio de fase en relación con la entrada

Resulta (ver numerosas referencias) que la respuesta sinusoidal de estado estable (o 'respuesta de frecuencia') se puede obtener de la función de transferencia del sistema mediante la simple sustitución algebraica: \ $ \ small s \ rightarrow j \ omega \ PS Y por lo tanto, el dominio de frecuencia es extremadamente accesible desde el dominio s. El dominio del tiempo, por ejemplo, no es tan fácil de acceder, ya que requiere la transformada inversa de Laplace.

Para usar su ejemplo, si un sistema tiene TF \ $ \ small G (s) = \ large \ frac {1} {s} \ $, la ganancia del dominio de frecuencia y el ángulo de fase serían: \ $ \ frac { 1} {\ omega} \ $ y \ $ \ small - \ frac {\ pi} {2} \ $, respectivamente.

Desde una perspectiva, en lugar de un sistema, la perspectiva, la señal de paso de unidad, \ $ \ small H (t) \ $, tiene el mismo LT que el sistema, arriba, a saber: \ $ \ small H (s) = \ large \ frac {1} {s} \ $, y en el dominio de frecuencia esto se asigna al espectro positivo \ $ \ small H (j \ omega) = \ large \ frac {1} {j \ omega} \ $, y tiene una amplitud \ $ \ frac {1} {\ omega} \ $, y un ángulo de fase de \ $ \ small - \ frac {\ pi} {2} \ $ relativo a una onda sinusoidal nocional, \ $ \ pequeño pecado (\ omega t) \ $

No es difícil argumentar, pero es un intento de hacerlo plausible:

La transformada de Laplace y la transformada de Fourier son muy similares.
La diferencia es solo el borde de integración y el factor adicional \ $ i \ $ (o si prefiere \ $ j \ $). La transformada de Laplace es más general en la medida en que \ $ s \ $ es complejo.

Para la Transformada de Fourier, asumo que es obvio por qué el "otro" dominio se denomina dominio de frecuencia. Las pequeñas diferencias entre los dos no justifican por qué el dominio \ $ s \ $ - de la Transformada de Laplace no debería llamarse también dominio de frecuencia.

Es similar al caso de oscilación amortiguada (por ejemplo, circuitos RLC) donde también es común utilizar el concepto de una frecuencia compleja que combina la frecuencia "común" (oscilación) y la amortiguación.

Las 2 formas principales de representar un sistema en el dominio de la frecuencia son las siguientes: 1) Transformada Foruier y 2) Transformada Laplace. Laplace está un poco más adelantado que Fourier, mientras que Foruier representa cualquier señal en forma de siusoids, la laplace representa cualquier señal en forma de sinusoides amortiguados. El factor S = alfa + jw, mientras que en Fourier solo tienes JW. En otras palabras, también puedes decir que cuando Xeta = 0 obtienes la respuesta de Fourier de Laplace. Esta Xeta agrega una función exponencial a tu sinusoide existente. (jw). Entonces, ¿qué sucede cuando agregas estos 2, obtienes una sinusoide amortiguada? ¿Qué ventaja tiene esto? Al reclinarse de la respuesta de magnitud en Laplace, se obtienen los polos que también son la respuesta natural del sistema. También le permite adivinar la respuesta transitoria del sistema junto con la respuesta de frecuencia. Pero para su otra pregunta sobre por qué la respuesta al escalón es 1 / S, F (s) = (límite integral 0 a infinito) f (t) e ^ (- st) dt. Por lo tanto, sustituya f (t) = 1, ya que ese es el caso de una función escalonada que obtendrá la respuesta como 1 / S, donde S = alfa + Jw. Todavía no dice que el paso tenga una frecuencia, solo dice que está representado de esta forma. Así que si pones w = 0 entonces no tiene una frecuencia. Esto es lo que pienso, es una forma justa de representación del paso.

  

Pero tome por ejemplo la transformada de Laplace de la función de paso u (t) =   1; t > = 0, que es 1 / s, la función de paso tiene una frecuencia de 0 e i   No veo cómo 1 / s representa un "dominio de frecuencia equivalente a la   función ".

1 / s le está diciendo que el espectro es infinito pero cae como el recíproco de s, es decir, en S = 10 la amplitud podría ser 0.1 pero en s = 100 la amplitud es 0.01. Aquí hay algunos otros ejemplos comunes (el escenario de cambio de paso es el cuarto uno hacia abajo): -

  

Mi pregunta es una especie de intento de comprender completamente la matemática   idea detrás de la transformada de Laplace y cómo se relaciona con la realidad   Propiedades físicas de los sistemas de control y las señales que impulsan.   ellos y agradezco a cualquiera que comparta su futuro / a.

Lo he olvidado casi todo, pero lo que recuerdo es que es demasiado para cubrir en este sitio.

La respuesta está oculta en s = jw donde w cadenas para omega, es decir, sobre la frecuencia, j es el número imaginario y s es la laplace s