Frecuencia natural no amortiguada

En lugar del dominio de la frecuencia, veamos esto en el dominio del tiempo y, en particular, la ecuación característica asociada con una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden para algún sistema:

\ $ r ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_n r + \ omega ^ 2_n = 0 \ $.

Si las raíces de la ecuación característica son reales (que es el caso si \ $ \ zeta \ ge 1 \ $), la solución general es la suma de exponenciales reales:

\ $ Ae ^ {\ sigma_1 t} + Be ^ {\ sigma_2t} \ $

donde

\ $ \ sigma_1 = - \ zeta \ omega_n + \ sqrt {(\ zeta ^ 2 - 1) \ omega ^ 2_n} \ $

\ $ \ sigma_2 = - \ zeta \ omega_n - \ sqrt {(\ zeta ^ 2 - 1) \ omega ^ 2_n} \ $

Dado que estos son exponenciales reales, no hay oscilación en estas soluciones.

Si las raíces son conjugados complejos (que es el caso si \ $ \ zeta < 1 \ $), la solución general es la suma de las exponenciales complejas:

\ $ e ^ {\ sigma t} (Ae ^ {j \ omega t} + Be ^ {- j \ omega t}) \ $

donde

\ $ \ sigma = - \ zeta \ omega_n \ $

\ $ \ omega = \ sqrt {(1 - \ zeta ^ 2) \ omega ^ 2_n} \ $

Esta solución es una sinusoide con frecuencia angular \ $ \ omega \ $ multiplicada por un exponencial real. Decimos que el sistema tiene una "frecuencia natural" de \ $ \ omega \ $ por una razón que creo que es obvia.

Finalmente, al configurar \ $ \ zeta = 0 \ $ (un sistema sin amortiguar ), esta solución se convierte en:

\ $ Ae ^ {j \ omega_n t} + Be ^ {- j \ omega_n t} \ $

que es solo una sinusoide de frecuencia angular \ $ \ omega_n \ $.

En resumen, un sistema puede o no no tener una frecuencia natural asociada. Solo sistemas con \ $ \ zeta < 1 \ $ tiene una frecuencia natural \ $ \ omega \ $ y solo en el caso de que \ $ \ zeta = 0 \ $ la frecuencia natural \ $ \ omega = \ omega_n \ $, la frecuencia natural no amortiguada.

La frecuencia natural no amortiguada se produce cuando zeta es menor que 1. Esto es, hasta donde sé, la única condición que produce un pico en el espectro de frecuencias, jw. Usé jw porque la derivación de tu fórmula,

$$ H (s) = \ frac {A_o \ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_n s + \ omega_n ^ 2} $$

produce una fórmula

$$ s = - \ zeta \ omega_n +/- \ omega_n \ sqrt {\ zeta ^ 2-1} $$

Y, si zeta es menor que 1, la parte cuadrada de la fórmula produce un número complejo que produce un polo que tiene cierta magnitud en el eje jw del diagrama del polo cero: -

Para completar, la línea roja en la parte inferior de la imagen, en magnitud, es la frecuencia natural no amortiguada y puedes demostrarlo simplemente por medio de un pitagoro.

Su última fórmula, como se señaló en la respuesta anterior, no produce una respuesta compleja para s y, por lo tanto, no tiene una zeta inferior a 1.

Su primera ecuación para H (s) está destinada a proporcionar la fórmula más simple para un sistema de 2 polos con polos complejos conjugados, sin usar números complejos. \ $ \ omega_n \ $ se define por su uso en esta fórmula. Si su sistema no tiene polos complejos-conjugados, entonces esta fórmula no se aplica y no hay una frecuencia natural. (edición: vea la respuesta de Alfred)

Su función de transferencia T (s) no se puede escribir en la forma de H (s) en su primera ecuación.

La razón es que no es un sistema resonante. Puedes ver esto factorizando el denominador:

\ $ T (s) = \ dfrac {200} {(s-3.66) (s + 13.66)} \ $

Este sistema tiene dos polos reales, en lugar de un par de polos complejos conjugados.

También, observe que el primer polo está en el semiplano derecho, lo que indica que tampoco es un sistema estable.