¿Cómo uso un PLL para multiplicar la frecuencia de entrada por un número irracional?

No puedes.

Puede obtener cualquier múltiplo racional de la frecuencia de entrada, porque a intervalos de algún período finito, la salida y la entrada estarán exactamente en fase entre sí. Con un número irracional, pueden estar en fase en exactamente un punto alguna vez .

¿Por qué quieres esto de todos modos?

Sí. Puede crear un sintetizador para generar una frecuencia de sqrt (2).

¿Puedes escribir un número irracional como sqrt (2), como una fracción decimal? ¿Es posible, incluso en principio ? No.

Pero puedes aproximar un número irracional, tan cerca como quieras, con una fracción racional. Puede elegir un nivel de error y anotar un número que se encuentre dentro de ese nivel. Por ejemplo, al usar potencias de 10 como denominador como en el sistema decimal, para obtener un error de 1% podría escribir 1.41. Para obtener 1 parte por billón, puede escribir 1.414213562.

Un problema con esto es '¿cuál es un nivel de error adecuado?' Los usuarios de computadoras y los desarrolladores tienen más o menos de acuerdo en que 1 parte en 2 ^ 56 utilizando IEEE754 reales es más o menos suficiente para la mayoría de los propósitos. Pero para una representación exacta, solo una longitud infinita servirá. Y eso no es posible, incluso en principio.

Sin embargo, un sintetizador es más que una fracción racional. Es un equipo real, que existe en el tiempo y en el espacio. Muy importante, para nuestros propósitos, tiene un ruido de fase irreducible en operación. El ruido proviene de la física de los componentes utilizados. Eso significa que para cualquier tiempo finito dado de funcionamiento, solo una longitud finita se requiere para representar la fase de salida para que un error no se pueda resolver físicamente.

Entonces, un sintetizador ofrece una solución al '¿qué tan buena debe ser la aproximación?' pregunta.

Es posible construir un sintetizador, cuya fase de señal de salida será indistinguible de la de una fuente de señal teórica ideal, no resolvible del ruido inherente del sintetizador. Eso se mantendrá vigente durante cualquier tiempo especificable, por ejemplo, una medición de 1 minuto, mi vida, su vida, la vida útil del sistema sol-tierra, o cualquier conjetura sobre la vida útil de nuestro universo.

Este sintetizador produciría una señal cuya fase avanza en aproximadamente 2 ciclos por ciclo de referencia, con un error no acumulativo. Esta es la definición funcional de un sintetizador que produce una frecuencia de sqrt (2) * ref.

Un sintetizador fraccional de ejemplo no podría, por sí solo, producir la señal. Como tiene un denominador fijo de longitud finita, la frecuencia que produjo tendría un error finito, lo que significa que el error de fase crecería con el tiempo, sería acumulativo.

Sin embargo, una pequeña modificación de dicho sintetizador usaría una computadora para realizar un seguimiento del error de fase e inyectar un carry en su LSB de vez en cuando. Dichos sintetizadores híbridos están en equipos en el mercado. La fase delta para el producto LSB.update_period sería lo suficientemente pequeña como para ser indetectable. Lógicamente, este acarreo es simplemente una extensión del ancho de bits del denominador. Dicha computadora estaría calculando la fase teórica de la señal sqrt (2) de destino, tal vez mediante la integración en tiempo real de una representación computable de sqrt (2) como la fracción continua infinita [1; 2,2,2 ...]. Esto significa que el error de fase a largo plazo no sería acumulativo. El denominador efectivo de esta computadora crecería con el tiempo. Afortunadamente, la memoria consumida en este proceso crecería solo de forma logarítmica con el tiempo, lo que significa que el sintetizador podría implementarse con el hardware actual.

Quizás una relación más divertida para sintetizar sería la Sección Dorada, aproximadamente 1.618034, [1; 1,1,1,1 ...] como una fracción continua, posiblemente el "número más irracional".