PID para generar diferentes sistemas de orden

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Estoy mirando una pregunta del examen anterior y me pregunto si le doy a un determinado G(s) , ¿cómo puedo elegir los puntos de los ceros en un controlador PID para obtener una respuesta de segundo orden para valores pequeños de K y una respuesta de primer orden? para valores grandes de K. Hasta ahora he encontrado la función de transferencia pero no estoy seguro de cómo determinar los ceros. ¡Si alguien pudiera dar una explicación, estaría muy agradecido!

Paraa)encontrarlafuncióndetransferencia,obtengo

Desde aquí puedo ver que si K es pequeño obtendré una respuesta de segundo orden, y si K es grande, puedo ver dónde obtendría la respuesta de primer orden.

Lo que no entiendo es cómo puedo encontrar los Ceros (ayb) para que el PID brinde la respuesta deseada.

Editar: Pido disculpas, tanto K como k son lo mismo, arreglaré eso. En la pregunta para K pequeña, el sistema debe tener una respuesta de segundo orden a una entrada de pasos y una respuesta de primer orden para valores grandes de K.

    
pregunta Michael Miner

1 respuesta

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CLTF es: $$ \ small \ frac {Y (s)} {R (s)} = \ frac {K (s + a) (s + b)} {s ^ 3 + (2 + K) s ^ 2 + (2 + K (a + b)) s + abK} $$

Para producir un primer orden TF, nos gustaría que \ $ \ small (s + a) (s + b) \ $ cancele dos de las raíces en el denominador. La cancelación exacta normalmente no es alcanzable, por lo que vamos a aproximarnos.

Por lo tanto, escriba el denominador 'ideal' como \ $ \ small (s + a) (s + b) (s + c) \ $, y encuentre el valor de \ $ \ small c \ $ que se aproxima a este denominador cuando \ $ \ small K \ $ es grande.

Expandiendo \ $ \ small (s + a) (s + b) (s + c) \ $ y comparando denominadores:

\ $ \ small s ^ 3 + (a + b + c) s ^ 2 + (ab + bc + ca) s + abc \: \ approx \: s ^ 3 + (2 + K) s ^ 2 + (2 + K (a + b)) s + abK \ $

Comparando términos constantes, \ $ \ small abc = abK \ $, por lo tanto \ $ \ small c \ rightarrow K \ $, y sustituyendo:

\ $ \ small s ^ 3 + (a + b + c) s ^ 2 + (ab + bc + ca) s + abc \: \ approx \: s ^ 3 + (a + b + K) s ^ 2 + (ab + K (a + b)) s + abK \ $

Ahora, deje que \ $ \ small K \ $ se haga grande, de modo que:

\ $ \ small [(a + b) + K] \ approx [2 + K] \ $ y \ $ \ small [ab + K (a + b)] \ approx [2 + K (a + b) )] \ $

Por lo tanto, tenemos el denominador: \ $ \ small \ (s ^ 2 + (a + b) s + ab) (s + K) \ $, y el CLTF de primer orden requerido es: $$ \ small \ frac {Y (s)} {R (s)} \ approx \ frac {K} {s + K} $$

Para ilustrar, considere \ $ \ small a = 1 \ $; \ $ \ small b = 1 \ $; \ $ \ small K = 100 \ $.

El CLTF es: $$ \ small \ frac {Y (s)} {R (s)} = \ frac {100 (s ^ 2 + 2s + 1)} {s ^ 3 + 102s ^ 2 + 202s + 100} $$

Se puede ver que \ $ \ small (s ^ 2 + 2s + 1) \ $ es un factor aproximado de \ $ \ small (s ^ 3 + 102s ^ 2 + 202s + 100) \ $ [es una factor exacto de \ $ \ pequeño (s ^ 3 + 102s ^ 2 + 201s + 100) \ $], dando el primer orden CLTF: $$ \ small \ frac {Y (s)} {R (s)} \ approx \ frac {100} {s + 100} $$

El análisis para las pequeñas \ $ \ pequeñas K \ $ puede proceder de manera similar.

    
respondido por el Chu

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