Métodos de solución para PDE lineales de segundo orden (ecuaciones HWL)

Los tres PDE

Los tres famosos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden son

1. Ecuación 1D de calor (difusión) $$ \ frac {\ parcial u} {\ parcial     t} = \ alpha ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2}, \, \, t > 0 $$

2. Ecuación de onda 1D $$ \ frac {\ parcial ^ 2 u} {\ parcial     t ^ 2} = c ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2}, \, \, t > 0 $$

   y

3. Ecuación de Laplace 2D

   $$ \ frac {\ parcial ^ 2 u} {\ parcial x ^ 2} + \ frac {\ parcial ^ 2 u} {\ parcial y ^ 2} = 0 $$ PS Dominio

El dominio de estudio para las dos primeras ecuaciones puede ser cualquiera de las tres siguientes

1. Dominio finito: \ $ x \ en [0, L] \ $
2. Dominio semi-infinito: \ $ x \ en [0, \ infty) \ $
3. Dominio infinito: \ $ x \ in (- \ infty, \ infty) \ $

Para la ecuación de Laplace, el dominio puede ser

1. \ $ D = \ {(x, y): \, 0 \ leq x \ leq L, \, 0 \ leq y \ leq L \} \ $
2. \ $ D = \ {(x, y): \, 0 \ leq x \ leq L, \, y > 0 \} \ $
3. \ $ D = \ {(x, y): \, x > 0, \, y > 0 \} \ $
4. \ $ D = \ {(x, y): \, - \ infty < x < \ infty, \, y > 0 \} \ $
5. \ $ D = \ {(x, y): \, x > 0, \, - \ infty < y < \ infty \} \ $
6. \ $ D = \ {(x, y): \, - \ infty < x < \ infty, \, - \ infty < y < \ infty \} \ $

Métodos de solución

Las tres técnicas más comunes disponibles para resolver estas ecuaciones son

1. Separación de variables (SV): podemos resolver las ecuaciones de HWL con este método solo en un dominio finito.

2. Transformada de Fourier (FT): podemos resolver las ecuaciones de HWL con este método, tanto en los dominios infinitos como en los infinitos

3. Transformada de Laplace (LT): Según mi conocimiento, solo podemos resolver las ecuaciones de HW con este método tanto en el dominio finito como en el dominio semiinfinito.

Preguntas

1. Para el dominio finito, podemos usar tanto SV como LT para las ecuaciones de calor y de onda. Preferiría LT sobre SV debido a su simplicidad. ¿Hay alguna otra razón para considerar una sobre la otra?

2. ¿Podemos resolver la ecuación de Laplace usando LT para los dominios 2, 3, 4 y 5? ¿o se supone que debemos usar LT solo para el análisis transitorio?

3. Podemos usar tanto LT como FT para resolver ecuaciones de calor y de onda en un dominio semi-infinito. ¿Por qué razón tengo que preferir una sobre la otra?

4. En general, ¿cuándo será útil usar la transformada de Laplace y la transformada de Fourier?