Considere una secuencia de tiempo discreto x [n] basada en una sinusoide con frecuencia angular
\ $ \ omega _0 \ $: x [n] = cos [\ $ \ omega _0 \ $ n].
Si esta secuencia es periódica con un período de N muestras, entonces debe cumplirse lo siguiente: cos [\ $ \ omega _0 \ $ (n + N)] = cos [\ $ \ omega _0 \ $ n] ( Ec. 1). Sin embargo, el lado izquierdo se puede expresar como cos [\ $ \ omega _0 \ $ (n + N)] = cos [\ $ \ omega _0 \ $ n + \ $ \ omega _0 \ $ N]. La función de coseno es periódica con un período de 2 \ $ \ pi \ $ y por lo tanto cos [\ $ \ omega _0 \ $ n] = cos [\ $ \ omega _0 \ $ n + 2 \ $ \ pi \ $ r] (Eq.2), para valores enteros de r. Comparando Eq.1 y Eq.2 obtenemos:
$$ \ omega _0 N = 2 \ pi; \ \ text {(para r = 1)} $$
$$ 2 \ pi f _0 N = 2 \ pi $$
$$ f _0 = \ frac {1} {N} $$
Dado que N es un entero, la señal será periódica si \ $ f_0 \ $ es un número racional . De lo contrario, no será periódico.
En su ejemplo, \ $ \ omega _0 \ $ = 2 así que \ $ f_0 \ $ = \ $ \ frac {2} {2 \ pi} \ $. Pero no puede encontrar una división entera (\ $ \ frac {1} {N} \ $) que dé como resultado un número irracional (\ $ f_0 \ $). Por lo tanto, no se puede encontrar una N que cumpla los criterios para que esta señal sea periódica.