Consideraciones:
En lugar de volver a escribir todas las matemáticas, me gustaría dirigirte a esta respuesta de @Matt L. en el intercambio de pila de matemáticas para ayudarte a entender lo que sucede cuando multiplicas por coseno.
Significado de multiplicar por sin
Observe la 1/2 que se muestra cuando se usa solo coseno.
Responder:
Si solo observamos la parte real, obtenemos casi lo mismo que arriba con un coseno, pero es perfectamente simétrico. Lo que no entiendo es por qué?
Tienes razón, si solo observas la parte real al multiplicar por el exponencial, en realidad obtienes exactamente lo mismo que el coseno ( excepto la magnitud ).
Incluso en tu expansión usando la fórmula de Euler puedes ver esto:
$$ e ^ {jwt} = Re {(e ^ {jwt})} + Im {(e ^ {jwt})} $$
$$ e ^ {jwt} = cos (wt) + jsin (wt) $$
$$ Re (e ^ {jwt}) = cos (wt) $$
También tienes razón en tu dibujo de que usar solo un exponencial creará un solo cambio en una dirección. Además, esta simple multiplicación (como en tu segundo dibujo) desplaza la potencia total al lado derecho y, por lo tanto, no ves una multiplicación de magnitud 1/2 (como la que ves con el coseno).
Aquí es donde debe hacer una pausa y darse cuenta de que esta multiplicación en la práctica no es posible. Podemos crear cambios de fase, pero usted no puede hacer pecado porque es inherentemente no real, y por lo tanto no puede hacer la señal en el segundo dibujo porque no es real.
Así que multiplica por \ $ e ^ {jwt} \ $ todo lo que quieras, pero recuerda que cuando lo lleves al campo solo verás las cantidades reales.
