Estoy diseñando un filtro pasivo de paso de banda RC de segundo orden y encontré que el factor de calidad viene dado por:
\ $ Q = \ frac {\ sqrt {C_1C_2R_1R_2}} {C_1R_1 + C_2R_1 + C_2R_2} \ $
Cuando hago Q = (valor > ~ 0.5) y resuelvo para \ $ C_1 \ $, por ejemplo, Wolfram Mathematica siempre me da respuestas complejas o negativas. Entonces, mi pregunta es: ¿hay algún límite para el factor Q en los circuitos pasivos o simplemente hice algo mal?
Es posible demostrar matemáticamente que el factor Q de este circuito RC de paso de banda está limitado a: $$ 0 < Q < 0.5 $$
Primero, debemos recordar que la forma estándar de la función de transferencia para un filtro de paso de banda de segundo orden es: $$ H (s) = \ frac {K (2ζω_n) s} {(s ^ 2 + 2ζω_ns + ω_n ^ 2)} $$ Donde:
Y la función de transferencia basada en valores de componentes es: $$ H (s) = \ frac {sC_1 R_1} {C_1 C_2 R_1 R_2 \ cdot s ^ 2 + (C_1 R_1 + C_2 R_1 + C_2 R_2) s + 1} $$
Para probar que 0 < Q < 0.5, comenzaré por establecer una ecuación que, una vez resuelta, dé los polos (raíces del denominador) de la función de transferencia anterior: $$ C_1 C_2 R_1 R_2 s ^ 2 + (C_1 R_1 + C_2 R_1 + C_2 R_2) s + 1 = 0 $$
Tenga en cuenta que esta expresión es una ecuación cuadrática en la forma \ $ como ^ 2 + bs + c = 0 \ $. Su discriminante viene dado por \ $ Δ = b ^ 2-4ac \ $. Entonces, tenemos:
$$ Δ = (C_1 R_1 + C_2 R_1 + C_2 R_2) ^ 2-4⋅C_1 C_2 R_1 R_2 $$ Suponiendo que \ $ C_1 > 0 \ $, \ $ C_2 > 0 \ $, \ $ R_1 > 0 \ $ y \ $ R_2 > 0 \ $, se sigue que \ $ Δ > 0 \ $ para cualquier elección de componentes.
Ahora, haciendo el mismo proceso pero utilizando el formulario estándar esta vez, tenemos: $$ s ^ 2 + 2ζω_n s + ω_n ^ 2 = 0 $$ $$ Δ = (2ζω_n) ^ 2-4ω_n ^ 2 = 4ζ ^ 2 ω_n ^ 2-4ω_n ^ 2 = 4ω_n ^ 2⋅ (ζ ^ 2-1) $$ Pero ya sabemos que \ $ Δ > 0 \ $. Entonces, usando el formulario estándar:
$$ 4ω_n ^ 2⋅ (ζ ^ 2-1) > 0 $$
El término \ $ 4ω_n ^ 2 \ $ es seguramente positivo. Entonces, para satisfacer la desigualdad anterior, es necesario que $$ (ζ ^ 2-1) > 0 $$ Antes de continuar, es importante recordar una cosa más: $$ Q≜ \ frac {1} {2ζ} \ implica ζ = \ frac {1} {2Q} $$ Luego, al hacer la sustitución, tenemos:
$$ \ left (\ frac {1} {2Q} \ right) ^ 2-1 > 0 \ implica \ left | \ frac {1} {2Q} \ right | > 1 $$ Al analizar la expresión del factor Q para el filtro, hacemos los mismos supuestos hechos anteriormente con \ $ Δ \ $: $$ Q = \ frac {\ sqrt {C_1C_2R_1R_2}} {C_1R_1 + C_2R_1 + C_2R_2} > 0 $$ Por lo tanto, finalmente podemos concluir que: $$ \ frac {1} {2Q} > 1 \ implica 0 < Q < 0.5 $$
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