Los polos para determinar el lugar de la raíz para una función de transferencia de bucle abierto \ $ H (s) \ $ se encuentran utilizando
$$ 1 + K \ cdot H (s) = 0 \ Rightarrow K = \ frac {-1} {H (s)} $$
La ecuación se mantiene para cualquier \ $ s \ $ que resuelva la ecuación. Si \ $ N > 1 \ $ polos se abrazan en un solo punto \ $ \ sigma \ $, entonces eso significa que localmente , \ $ K \ $ cambia proporcionalmente a \ $ (s- \ sigma) ^ N \ $ . Esto significa que la primera derivada de \ $ K \ $ será \ $ 0 \ $ en este punto \ $ \ sigma \ $. Así que podemos encontrar estos puntos resolviendo
$$ \ frac {dK} {ds} = 0 $$
o similar
$$ \ begin {align}
\ frac {d} {ds} \ left (\ frac {-1} {H (s)} \ right) & = 0 \\
& \ Downarrow \\
\ frac {1} {H (s) ^ 2} \ frac {dH (s)} {ds} & = 0 \\
& \ Downarrow \\
\ frac {dH (s)} {ds} & = 0
\ end {align} $$
Un punto de separación se define como el punto donde los polos dejan el eje real. De manera similar, un punto de reingreso es donde los polos ingresan nuevamente en el eje real. Sin embargo, los polos complejos todavía pueden ser una especie de "puntos de ruptura" en otras partes del plano complejo, y la relación anterior se mantendrá.
Apéndice
Para las funciones de transferencia racional, puede obtener la ecuación de la pregunta calculando la derivada.
$$ H (s) = \ frac {\ prod_i (s-z_i) ^ {m_i}} {\ prod_k (s-p_k) ^ {n_k}} $$
Con \ $ k \ $ y \ $ i \ $ indexando todos los polos y ceros respectivamente. \ $ n_k \ $ y \ $ m_i \ $ son la multiplicidad de sus respectivos polos o cero.
$$ \ begin {align}
\ frac {dH (s)} {ds} & = \ frac {d} {ds} \ left (\ prod_i (s-z_i) ^ {m_i} \ right) \ prod_k \ frac {1} {(s- p_k) ^ {n_k}} + \ frac {d} {ds} \ left (\ prod_k \ frac {1} {(s-p_k) ^ {n_k}} \ right) \ prod_i (s-z_i) ^ {m_i } \\
& = \ left (\ sum_i \ frac {m_i (s-z_i) ^ {m_i}} {s-z_i} \ prod_ {j \ neq i} (s-z_j) ^ {m_j} \ right) \ prod_k \ frac {1} {(s-p_k) ^ {n_k}} \\
& + \ left (\ sum_k \ frac {-n_k} {(s-p_k) (s-p_k) ^ {n_k}} \ prod_ {l \ neq k} \ frac {1} {(s-p_k) ^ {n_k}} \ right) \ prod_i (s-z_i) ^ {m_i} \\
& = \ left (\ sum_i \ frac {m_i} {s-z_i} -
\ sum_k \ frac {n_i} {s-p_k} \ right) \ frac {\ prod_i (s-z_i) ^ {m_i}} {\ prod_k (s-z_k) ^ {n_k}}
\ end {align} $$
Así que finalmente obtienes
$$ \ sum_k \ frac {n_k} {s - p_k} - \ sum_i \ frac {m_i} {s - z_i} = 0 $$
He marcado los puntos de interés P1 y P2. Cuando se realizó la siguiente tarea durante la clase, los puntos se determinaron resolviendo el punto de ruptura:
$$ \ sum_ {j = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ sigma - P_j} - \ sum_ {i = 1} ^ {m} \ frac {1} {\ sigma - N_i} = 0 $ PS
Que al resolver produce una solución real y dos soluciones complejas conjugadas:
$$ \ sigma_1 = -5, \ sigma_2 \ approx -5 + j6, \ sigma_3 \ approx -5 - j6 $$
Obviamente, el punto de ruptura del eje real es la solución real, sin embargo, para los puntos P1 y P2 se tomaron las dos soluciones complejas conjugadas, respectivamente. No he podido encontrar la razón detrás de eso en mis libros y en Internet. Mi pregunta es ¿cómo determinamos los puntos P1 y P2 y por qué?