Mi pregunta es que incluso si tenemos control sobre los valores propios de este nuevo vector, ¿cómo nos ayuda eso a controlar el sistema, es decir, a llevar nuestro sistema a nuestro estado deseado?
Si considera que su sistema es solo la planta, todo lo que puede lograr con el control de retroalimentación del estado es la estabilización (si el sistema es estable) con la colocación en el poste (si el sistema es controlable). Sin embargo, al aumentar el sistema con un controlador que sigue el principio del modelo interno, puede utilizar el mismo método de diseño de retroalimentación de estado y rastrear una señal de referencia dada.
Demostración : el sistema de la planta es G, con el sistema controlador F.
$$
G: \ begin {cases}
\ dot {x} (t) = Axe (t) + Bu (t) \\
y (t) = Cx (t)
\ end {cases}
$$
$$
F: \ begin {cases}
\ dot {x} _c (t) = A_cx_c (t) + B_ce (t) \\
\ end {cases}
$$
\ $ y (t) \ $ es la combinación lineal de estados que deben rastrear la señal de referencia \ $ r (t) \ $. Ambos \ $ y (t) \ $ y \ $ r (t) \ $ pueden ser señales vectoriales (caso de entradas múltiples de entradas múltiples).
Al cerrar el bucle de realimentación, la señal de error es \ $ e (t) = r (t) -y (t) \ $. El sistema aumentado para el vector de estado \ $ \ bar {x} (t) = \ begin {bmatrix} x (t) \\ x_c (t) \ end {bmatrix} \ $ luego sigue:
$$
\ begin {cases}
\ dot {\ bar {x}} (t) = \ begin {bmatrix}
A & 0 \\
-B_cC & C.A
\ end {bmatrix} \ bar {x} (t) + \ begin {bmatrix}
SEGUNDO\\
0
\ end {bmatrix} u (t) + \ begin {bmatrix}
0 \\
Antes de Cristo
\ end {bmatrix} r (t) = \ bar {A} \ bar {x} (t) + \ bar {B} u (t) + \ bar {B} _rr (t) \\\\
y (t) = \ begin {bmatrix} C & 0 \ end {bmatrix} \ bar {x} (t) = \ bar {C} \ bar {x} (t)
\ end {cases}
$$
Ahora aplique la respuesta de estado \ $ u (t) = K \ bar {x} (t) \ $:
$$
\ dot {\ bar {x}} (t) = (\ bar {A} + \ bar {B} K) \ bar {x} (t) + \ bar {B} _rr (t) \\
$$
Si \ $ A \ $ o \ $ A_c \ $ sigue el Principio del Modelo Interno (replica la dinámica modelada de la señal de referencia), entonces la salida \ $ y (t) \ $ rastreará la referencia \ $ r ( t) \ $. La función de transferencia de \ $ r (t) \ $ a \ $ y (t) \ $ es \ $ T (s) \ $.
$$
T (s) = \ bar {C} (sI - (\ bar {A} + \ bar {B} K)) ^ {- 1} \ bar {B} _r
$$