Cómo derivar ecuaciones de frecuencia de corte de la función de transferencia

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Estoy trabajando en un problema del libro de texto Electric Circuits 10th edition

simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

Estoy tratando de averiguar primero cómo pasar de la función de transferencia a la magnitud. Es casi como si el denominador obtuviera un \ $ w ^ 2 \ $ de la nada. Entonces, parece que no puedo descubrir cómo moverme de la magnitud para resolver las frecuencias de corte.

\ $ H (s) = \ frac {\ frac {R} {L} \ times s} {s ^ 2 + (\ frac {R + R_i} {L }) s + \ frac {1} {LC}} \ $ - usando divisor de voltaje

\ $ | H (jw) | = \ frac {\ frac {R} {L} w} {\ sqrt {(\ frac {1} {LC} -w ^ 2) ^ 2 + (w \ frac {R + R_1} {L}) ^ 2}} \ $

Podemos encontrar las frecuencias de corte:

\ $ \ frac {R} {R_1 + R} (\ frac {1} {\ sqrt {(2)}}) = \ frac {\ frac {R} {L} w} {\ sqrt {(\ frac {1} {LC} -w ^ 2) ^ 2 + (w \ frac {R + R_1} {L}) ^ 2}} \ $

Las frecuencias de corte se definen como:

\ $ wc_1 = - \ frac {R + R_1} {2L} + \ sqrt {(\ frac {R + R_1} {2L}) ^ 2+ \ frac { 1} {LC}} \ $

\ $ wc_2 = \ frac {R + R_1} {2L} + \ sqrt {(\ frac {R + R_1} {2L}) ^ 2+ \ frac {1 } {LC}} \ $

    
pregunta Arthur Green

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Bueno, tenemos:

$$ \ mathcal {H} \ left (\ text {s} \ right): = \ frac {180} {180 + 20 + 40 \ cdot10 ^ {- 3 } \ cdot \ text {s} + \ frac {1} {40 \ cdot10 ^ {- 9} \ cdot \ text {s}}} = $$ $$ \ frac {4500 \ cdot \ text {s}} {625000000+ \ text {s} \ cdot \ left (5000+ \ text {s} \ right)} \ tag1 $$

Ahora, para señales sinuscoidales podemos escribir:

$$ \ text {s} = \ omega \ text {j} \ tag2 $$

Entonces, obtenemos:

$$ \ left | \ mathcal {H} \ left (\ omega \ text {j} \ right) \ right | = \ frac {4500 \ cdot \ omega} { \ sqrt {\ left (625000000- \ omega ^ 2 \ right) ^ 2 + \ left (5000 \ cdot \ omega \ right) ^ 2}} \ tag3 $$

Y el máximo se da en:

$$ \ frac {\ text {d}} {\ text {d} \ hat {\ omega}} \ left (\ frac {4500 \ cdot \ hat {\ omega}} {\ sqrt {\ left (625000000- \ hat {\ omega} ^ 2 \ right) ^ 2 + \ left (5000 \ cdot \ hat {\ omega} \ right) ^ 2}} \ right) = 0 \ space \ Longleftrightarrow \ space \ hat {\ omega} = 25000 \ tag4 $$

Por la definición de la frecuencia de corte tenemos que encontrar:

$$ \ frac {4500 \ cdot \ omega} {\ sqrt {\ left (625000000- \ omega ^ 2 \ right) ^ 2 + \ left (5000 \ cdot \ omega \ right) ^ 2}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ cdot \ left | \ mathcal {H} \ left (\ hat {\ omega} \ text {j} \ right) \ right | = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ cdot \ frac {9} {10} \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ \ omega = 2500 \ cdot \ left (\ sqrt {101} \ pm1 \ right) \ tag5 $$

    
respondido por el Jan

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